算法的运行时间

Question

抱歉，这是一个三部分的问题。 我一直在努力获得第一部分，并且我认为如果我掌握了其余部分，那么我的运行时间就不太正确了。 我知道有n次迭代，但没有如何在不使用值j的情况下计算内部循环的迭代数

考虑以下基本问题。 您将得到一个由n个整数A [1]，A [2]，... A [n]组成的数组A。 您想输出一个二维n×n数组B，其中B [i，j]（对于i = j，所以这些值的输出无关紧要。）这是一个简单的算法解决这个问题。

For i=1, 2,...,n
    For j=i+1, i+2, ... n
        Add up array entries A[i] through A[j]
        Store the result in B[i,]]
    Endfor
 Endfor

（a）对于应该选择的某些函数f，在大小为n的输入上，以该算法的运行时间为边界，形式为O（f（n））（即，由f执行的操作数的边界）算法）。

（b）对于相同的函数f，表明在大小为n的输入上算法的运行时间也为〜2（f（n））。 （这显示了®（f（n））在运行时间上的渐近严格边界。）

（c）尽管您在（a）和（b）部分中分析的算法是解决问题的最自然方法-毕竟，它只是遍历数组B的相关条目，为每个数组填充一个值- -它包含一些非常不必要的低效率来源。 给出一种不同的算法来解决此问题，并以渐近地更好的运行时间。 换句话说，您应该设计一个运行时间为O（g（n））的算法，其中limn-> infinity g（n）/ f（n）=O。

Answer 1

我将通过第一部分。 然后，对于您来说解决第二部分可能就足够清楚了。 第三个问题是一个完全独立的问题（因此，如果需要帮助，也应单独列出）。

要分析运行时间，我们可以从内部开始，然后逐渐向外

Add up array entries A[i] through A[j]

假设您在条目上进行循环的直接实现，这将使您的运行时间为j - i + 1 （抽象时间单位）。 确切的数目将取决于实现以及您对操作进行计数的方式。 对于O(*)表示法，这没有什么区别。 我将保留这些特定时间，并且不会将它们简化为O(*)表示法，因为您可能会需要（b）部分的特定时间。

Store the result in B[i,j]

运行时间为1 。 因此，内部循环内部的部分的运行时间为j - i + 2 。 我将用T(j - i + 2)开始替换代码。 因此，我们剩下的代码是：

For i=1, 2,...,n
    For j=i+1, i+2, ... n
        T(j - i + 2)
    Endfor
 Endfor

为了找到内部循环的运行时间，我们需要求解给定范围内的总和： Sum (for j from i+1 to n) (j - i + 2) 。 这是一个具有解1/2 * (i - n - 5) * (i - n)的算术级数。 现在的代码是：

For i=1, 2,...,n
    T(1/2 * (i - n - 5) * (i - n))
Endfor

再次求和得出最终运行时间为1/6 * (n^3 + 6n^2 - 7n) 。 这个函数在O(n^3) 。

Answer 2

由于A[i]与A[j]为j - i + 1 ，因此f(n) = \\sum_{i=1}^n\\sum_j={i+1}^n (j-i+1) + 1 ，其中1是用于将值添加到B[i,j] 。 因此，通过从k = j - i + 1的变化变量， f(n) = \\sum_{i=1}^n \\sum_{k=0}^{n-i+1}k = \\sum_{i=1}^n (ni +1)(n - i + 2)/2 。 通过更改变量h = ni ， f(n) = \\sum_{h=1}^{ni} (h + 1)(h + 2)/2 。 因此， f(n) = n^3 。 这意味着算法是O(n^3) 。

对于第三部分，您可以根据这个事实使用B[i, j] = B[i, j-1] + A[j] 。 这意味着您可以使用先前计算的总和来计算转发的总和。 利用这个事实，将j - i + 1更改为1 。 这意味着g(n) = n^2 isntead的n^3 。