scipy.linalg.sparse.eigsh返回正半定矩阵的负和不一致特征值

Question

我尝试使用scipy.linalg.sparse.eigsh （将其称为方法1：M1）来计算实对称半定矩阵W的拉普拉斯矩阵的最小特征值。

作为基准，我对scipy.linalg.eigh （方法2：M2）进行了计算。 M1似乎返回了与M2不同的特征值，而且这些特征值似乎是错误的。

这是代码：

# Initialization
N=10
np.random.seed(0) # for reproducibility 
Nvp=4

# Create a real symmetric semi-definite matrix W, precision float64
X=np.random.random((N,N))
W=np.dot(X, X.T) 
W=np.array(W, dtype=np.float64) 

# Compute its Laplacian matrix A, precision float64
d=np.array([sum(W[:][j]) for j in range(N)], dtype=np.float64)
D=np.diag(d)
A=D-W
for i in range(N):
    for j in range(N):
        A[i][j]/=np.sqrt(d[i], dtype=np.float64)*np.sqrt(d[j], dtype=np.float64)
A=np.array(A, dtype=np.float64)

让我们检查A的格式是否正确：

>>> A.dtype
dtype('float64')
>>> np.allclose(A, A.T)
True

现在让我们运行一些测试：

## 1) Compute A's smallest eigenvalues by 2 different means
wA2, vA2 = la.eigh(A)
wA1, vA1 = sparse.eigsh(A, k=Nvp, sigma=0, which='LM')

## 2) Compute W's smallest eigenvalues by 2 different means
wW2, vW2 = la.eigh(W)
wW1, vW1 = sparse.eigsh(W, k=Nvp, sigma=0, which='LM')

# Output computed eigenvalues
print(wA2[:Nvp])
print(wA1[:Nvp])
print(wW2[:Nvp])
print(wW1[:Nvp])

这是输出：

>>>[-1.88737914e-15  9.03999970e-01  9.23513143e-01  9.52678423e-01]

[-4.93242313e-01 -8.14381749e-17  9.22235466e-01  9.44848237e-01]

[0.00575077 0.04770667 0.08565863 0.16319798]

[0.00575077 0.04770667 0.08565863 0.16319798]

此第一输出显示M1计算出A的负特征值，这在数学上是不可能的。 此外，如果一个检查其他人的计算，那么说第三个：

>>> np.dot(A, vA2[:,2])-wA2[2]*vA2[:,2]
array([-0.01183104, -0.25059123,  0.47372558, -0.31358618, -0.2968036 ,
   -0.04832199,  0.40973325, -0.01369472,  0.33267859, -0.27122678])

它甚至不接近零。 我必须添加每次都不同的计算特征值。 对我来说，这是由于初始化向量。 我会说scipy.linalg.sparse.eigsh不会进行足够的迭代以使其与真实结果足够接近，但是将maxiter=1000000设置不会影响奇怪的结果。 关于负特征值，很遗憾，我一无所知。

我在跑 ：

Python 3.7.0（默认，2018年6月28日，13:15:42）

[GCC 7.2.0] :: Linux上的Anaconda，Inc.

NumPy和SciPy是针对Intel MKL构建的。

谁能启发我？ 预先感谢您的宝贵时间。

Answer 1

您的矩阵A是奇异的，即0是A的特征值。 移位反转方法中的sigma值本身不能为特征值。 看一下ARPACK文档的“平移和倒频谱转换模式”部分。

SciPy教程中显示了相同的公式。 移位反转方法的公式为

inv(A - sigma*M) @ M @ x = nu*x

（ Argh ，我真希望stackoverflow具有LaTeX标记！）当sigma为0时， A - sigma*M仅是A ，并且inv(A)不存在。