实现单纯形法无限循环

Question

我正在尝试按照我在优化课程中给出的规则来实现一个单纯形算法。 问题是

min c'*x    s.t.
    Ax = b
    x >= 0

所有向量都假定为列， '表示转置。 该算法还应将解决方案返回给对偶 LP。 要遵循的规则是：

这里，A_J 表示 A 中索引在 J 和 x_J 中的列，x_K 表示向量 x 的元素，索引分别在 J 或 K 中。 向量 a_s 是矩阵 A 的列 s。

现在我不明白这个算法如何处理条件x >= 0 ，但我决定试一试并一步一步地遵循它。 我为此使用了 Matlab 并得到了以下代码。

X = zeros(n, 1);
Y = zeros(m, 1);

% i. Choose starting basis J and K = {1,2,...,n} \ J
J = [4 5 6]  % for our problem
K = setdiff(1:n, J)

% this while is for goto
while 1
    % ii. Solve system A_J*\bar{x}_J = b.
    xbar = A(:,J) \ b

    % iii. Calculate value of criterion function with respect to current x_J.
    fval = c(J)' * xbar

    % iv. Calculate dual solution y from A_J^T*y = c_J.
    y = A(:,J)' \ c(J)

    % v. Calculate \bar{c}^T = c_K^T - u^T A_K. If \bar{c}^T >= 0, we have
    % found the optimal solution. If not, select the smallest s \in K, such
    % that c_s < 0. Variable x_s enters basis.
    cbar = c(K)' - c(J)' * inv(A(:,J)) * A(:,K)
    cbar = cbar'

    tmp = findnegative(cbar)
    if tmp == -1  % we have found the optimal solution since cbar >= 0
        X(J) = xbar;
        Y = y;
        FVAL = fval;
        return
    end

    s = findnegative(c, K)  %x_s enters basis

    % vi. Solve system A_J*\bar{a} = a_s. If \bar{a} <= 0, then the problem is
    % unbounded.
    abar = A(:,J) \ A(:,s)

    if findpositive(abar) == -1  % we failed to find positive number
        disp('The problem is unbounded.')
        return;
    end

    % vii. Calculate v = \bar{x}_J / \bar{a} and find the smallest rho \in J,
    % such that v_rho > 0. Variable x_rho exits basis.
    v = xbar ./ abar
    rho = J(findpositive(v))

    % viii. Update J and K and goto ii.
    J = setdiff(J, rho)
    J = union(J, s)
    K = setdiff(K, s)
    K = union(K, rho)
end

功能findpositive(x)和findnegative(x, S)返回的正或负的值的第一个指数x 。 S是我们查看的索引集。 如果省略S ，则检查整个向量。 出于调试目的，省略了分号。

我测试此代码的问题是

c = [-3 -1 -3 zeros(1,3)];
A = [2 1 1; 1 2 3; 2 2 1];
A = [A eye(3)];
b = [2; 5; 6];

zeros(1,3)和eye(3)是问题是不等式，我们需要松弛变量。 我已将起始基数设置为[4 5 6]因为注释说起始基数应设置为松弛变量。

现在，在执行过程中发生的情况是，在第一次运行while ，索引为1变量进入基础（在 Matlab 中，索引从 1 开始）并且4退出它，这是合理的。 在第二次运行时， 2进入基（因为它是最小的索引，使得c(idx) < 0和1离开它。但现在在下一次迭代中， 1再次进入基，我明白为什么它进入，因为它是最小的索引，使得c(idx) < 0 。但是这里循环开始了。我认为这不应该发生，但是按照规则我看不出如何防止这种情况发生。

我想我对笔记的解释一定有问题，但我就是看不出我错在哪里。 我还记得，当我们在论文上解决 LP 时，我们每次都在更新我们的主观函数，因为当一个变量进入基础时，我们将它从主观函数中删除并在 subj 中表示该变量。 函数与等式之一的表达式，但我认为这是不同的算法。

任何评论或帮助将不胜感激。

Answer 1

问题已经解决。 原来笔记中的第7点是错误的。 相反，第 7 点应该是