在包含数据数组和python函数的积分上进行曲线拟合

Question

我有一个用未知常数的整数描述的数据集，我正在尝试使用python的curve_fit确定该数据集。 但是，被积数包含一个与数据集相乘的函数

def integrand(tm, Pm, args):
    dt, alpha1, alpha2 = args
    return Pm*(1-np.e**( -(alpha1 * (tm+dt))) )*np.e**(-(alpha2 * (tm+dt)))

其中Pm是脉冲响应收集数据的一维数组，脉冲数据图像和积分曲线

橙色曲线代表脉冲数据，蓝色曲线代表积分应评估的值

tm是积分变量，而dt，alpha1，alpha2是未知常数，积分范围为0到tm。

在这种积分上进行曲线拟合的最佳方法是什么，或者解决未知常数的其他方法可能是什么？

数据集在这里链接

Answer 1

从数据集的长度来看，似乎目的是要使integrand（t）适应output（t + dt）。 scipy优化模块中有几个功能可用于执行此操作。 对于一个简单的示例，我们显示使用scipy.optimize.leastsqr（）的实现。 有关更多详细信息，请参见scipy优化中的教程。

基本方案是创建一个函数，该函数在独立坐标上评估模型函数，并返回一个numpy数组，其中包含残差，模型与各点观测值之间的差异。 minimumsq（）找到一组参数的值，该参数可将残差平方和最小化。

请注意，拟合可能对初始猜测敏感。 模拟退火通常用于查找可能的全局最小值，并在优化拟合之前提供拟合参数的粗略估计。 此处用于初始猜测的值仅用于概念目的。

from scipy.optimize import leastsq
import numpy as np

# Read the data files    
Pm = np.array( [ float(v) for v in open( "impulse_data.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(Pm), Pm.shape

tm = np.array( [ float(v) for v in open( "Impulse_time_axis.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(tm), tm.shape

output = np.array( [ float(v) for v in open( "Output_data.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(output), output.shape

tout = np.array( [ float(v) for v in open( "Output_time_axis.txt", "r" ).readlines() ] )
print type(tout), tout.shape

# Define the function that calculates the residuals
def residuals(  coeffs, output, tm ):
    dt, alpha1, alpha2 = coeffs
    res = np.zeros( tm.shape )
    for n,t in enumerate(tm):
        # integrate to "t"
        value = sum( Pm[:n]*(1-np.e**( -(alpha1 * (tm[:n]+dt))) )*np.e**(-(alpha2 * (tm[:n]+dt))) )
        # retrieve output at t+dt
        n1 = (np.abs(tout - (t+dt) )).argmin()
        # construct the residual
        res[n] =  output[n1] - value
    return res

# Initial guess for the parameters
x0 = (10.,1.,1.)

# Run the least squares routine
coeffs, flag = leastsq( residuals, x0, args=(output,tm) )

# Report the results
print( coeffs )
print( flag )