随机快速排序划分概率

Question

我正在阅读有启发性的算法：第1部分 ，问题5.2指出：

令ɑ是一个常数，与输入数组长度n无关，严格在0和1/2之间。 使用随机选择的枢轴元素，Partition子例程会产生一个拆分，其中两个结果子问题的大小至少是原始数组大小的1/3倍吗？

答案选择包括：

1. ɑ
2. 1-ɑ
3. 1-2ɑ
4. 2-2ɑ

我不确定如何回答这个问题。 有任何想法吗？

Answer 1

令数组中有N元素。 如果选取的枢轴是数组中最小[Nα]元素之一，则左分区的大小将小于Nα 。 同样，如果选取的枢轴是数组中最大的[Nα]元素之一，则右分区的大小将小于Nα 。

因此，您可以选择N - 2 * [Nα]元素，以使两个分区的大小都大于或等于Nα 。 由于该算法随机选择一个枢轴，因此所有元素的拾取概率均等。

因此，发生这种分裂的可能性为1 - 2α + O(1 / N) 。