随机快速排序递归深度

Question

我正在阅读有启发性的算法：第1部分 ，问题5.3指出：

令⍺是一个常数，与输入数组长度n无关，严格在0和1/2之间。 假设您在每个递归调用中都实现了与前一个问题大致平衡的拆分-因此，每当递归调用被赋予长度为k的数组时，它的两个递归调用中的每一个都会传递一个子数组，该子数组的长度在⍺k与（1-⍺）之间ķ。 在触发基本情况之前，可以发生多少个连续的递归调用？ 同样，算法的递归树的哪些级别可以包含叶子？ 用可能的数字d表示您的答案，从可能需要的最小递归调用数到最大数目。 [提示：将对数函数与不同基数相关联的公式为log n = ln n]

答案选择：

1. -log（n）/ log（⍺）<= d <= -log（n）/ log（1-⍺）
2. 0 <= d <= -log（n）/ log（⍺）
3. -log（n）/ log（1-⍺）<= d <= -log（n）/ log（⍺）
4. -log（n）/ log（1-2⍺）<= d <= -log（n）/ log（1-2⍺）

我的分析：

如果⍺<1/2，则1-⍺>⍺，因此子数组长度为（1-⍺）n的分支将具有更大的递归深度。

n / (1 - ⍺)^d = 1
Taking log[base(1 - ⍺)] on both sides
log[base(1 - ⍺)](n) = d
By log rule
d = log(n)/log(1 - ⍺)

最好的情况应该是log(n)/log(⍺) ，因此答案1似乎是正确的。 但是，我对减号感到困惑。 我不明白递归树的高度如何为负数。 另外，我希望有人验证我的分析，如上所示。

有任何想法吗？

Answer 1

您的分析有一个小错误。

正确的方程将是n * (1 - ⍺) ^ d = 1而不是n / (1 - ⍺) ^ d = 1 。 这会添加您要查找的负号。

请记住， ⍺和(1 - ⍺)均小于1。因此，对数为负。 在其上再添加一个负号会导致最小和最大深度的整体正值。