以下代码段的时间复杂度是多少？

Question

我需要帮助来确定代码段的时间复杂度。

我试图了解如何添加所有内容，但我不确定它是否正确。 第一个循环和第二个循环是我理解的对数，最后一个是线性的，或者至少是我的想法。 但我不明白如何最终确定问题并提供时间复杂性。

sum = 0; count = 0;
for (int i = 1; i < N; i = i*2){
    sum = sum + 1;
    for (int j = i; j < N*N; j = j*2){
        count++;
    }
    for (int k = i; k < N; k++){
        count--;
    }
}

我的猜测是：（logN * logN）+（logN * N） - > O（NlogN）但是由于第三个循环没有嵌套在第二个循环中，我不确定如何正确地确定复杂性。 所以请帮帮我.. :)

Answer 1

假设首先N=2^M 然后M = lg(N) 。

外环运行i = 2^0, 2^1, 2^2, ..., 2^(M-1) 。 总计M步。

第一内循环在步骤s运行j = 2^s, ..., 2^(M + M - 1) （在M步骤中）。 总计2M-s 。

第二个在步骤s运行k = 2^s, 2^s + 1, ..., 2^M - 1 。 总计2^M - 2^s 。

第一个循环总共采用(2M-0) + (2M-1) + ... + (2M - (M-1)) ，即O(M^2) = O(lg(N)^2) 。

第二个(2^M-2^0) + ... + (2^M-2^(M-1)) ，等于M2^M - 2^M + 1 ，即O(M2^M) = O(Nlg(N)) 。

因此，总复杂度为O(lg(N)lg(N)) + O(Nlg(N)) = O(Nlg(N)) 。

对于一般情况，其中N不是2的幂，考虑M使得2^M < N < 2^(M+1)并且得出结论复杂性保持为O(Nlg(N)) 。