求解线性方程组

Question

我正在研究使用有限元方法来计算通过元素的热流。 我目前坚持求解方程组，其中方程的两边都有变量。 一个简单的例子可能是这样的

| 1  -1   0|   |100 |   |q1|   
|-1   2  -1| . | T2 | = |0 |   
| 0  -1   1|   | 0  |   |q3|

我正在考虑使用的方法将矩阵减少到 2x2，因为温度“T1”是已知的，并相应地改变右手边。 并继续在“T3”行中做同样的事情。 然而，我的顾问一直在建议我反对这一点。

你会如何解决这样的系统？

Answer 1

我会写下你的线性方程并重塑它，这样你就只有一个带有未知变量的向量。 例如，上面的方程组等于：

可以重写：

这导致：

| -1  -1   0|   | T2 |   | 100 |   
|  2   0   0| . | q1 | = | 100 |   
| -1   0  -1|   | q3 |   |  0  |

Answer 2

另一种方法是创建一个置换矩阵来从向量中提取已知和未知的行。 这种方法有点复杂，但对程序员更友好：

说你的情商。 系统是：

K . T = Q

其中K是3x3 ， T和Q是3x1向量。 您可以创建一个置换Pf矩阵，当它乘以T ，结果是T矩阵的未知部分（只有 T2），在您的情况下，置换矩阵将是一个1x3矩阵：

Pf = [0 1 0]

                       |100|
Tf = Pf * T = [0 1 0]* |T2 | = [T2]
                       |0  |

另一个置换矩阵将从T矩阵中获取已知部分，在您的情况下，它将是一个2x3矩阵：

     | 1 0 0|
Ps = | 0 0 1| 

Ts =  Ps * T = | 1 0 0|  |100|   |100|
               | 0 0 1| *| T2| = |0  |
                         |0  |   

现在一切都准备好了，你可以假设系统是这样的：

K . T = Q

K = |Kff Kfs|
    |Kfs Kss|

Q = |Qf|
    |Qs|

T = |Tf|
    |Ts|

其中f是未知右侧s前缀， s是已知右侧s前缀。 你可以像这样找到Pf 、 Ps 、 Qf 、 Qs 、 Kff 、 Kfs 、 Ksf和Kss ：

Tf = Pf * T
Tq = Ps * T

Qf = Pf * Q
Qq = Ps * Q

Kff = pf * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kfs = pf * K * ps` (note: ` denotes the transpose)
Ksf = ps * K * pf` (note: ` denotes the transpose)
Kss = ps * K * ps` (note: ` denotes the transpose)

现在需要找到未知向量Tf和Qs ：

K . T = Q

|Kff Kfs| |Tf| = |Qf|
|Kfs Kss| |Ts|   |Qs|

意思是：

Kff * Tf + Kfs * Ts = Qf
Kfs * Tf + Kss * Ts = Qs

从第一个：

Tf = Kff^-1 * (Qf - Kfs * Ts)

用上面的等式你可以找到Tf（注意所有右边都是已知的矩阵和向量，所以需要进行数值运算）

从第二个开始：

Qs = Kfs * Tf + Kss * Ts 

这样就可以找到Qs和Tf 。 找到Tf和Qs ，您可以执行此操作以形成原始T和Q矩阵：

Q = Ps` * Qs + Pf` * Qf
T = Ps` * Ts + Pf` * Tf