有关点菜数据类型的问题

Question

我正在阅读关于数据类型的原始论文，并决定尝试在Scala中实现这个想法（我知道它已经在许多功能库中实现）。 不幸的是，我发现原始论文难以理解，而且我在开始时就陷入了困境。 然后我找到了另一篇更容易理解的论文 ，并设法将Haskell代码从论文重写为Scala，你可以在这里找到它。 但是我仍然在努力理解片刻：

1. 引用第二篇论文

Orignal Expr数据类型

data Expr = Val Int | Add Expr Expr

新型签名：

data Arith e = Val Int | Add e e

对于任何仿函数f ，其诱导递归数据类型Fix f被定义为f的最小Fix f点，实现如下：

data Fix f = In (f (Fix f))

现在我们已经绑定了签名的递归结 ， Fix Arith是一种等同于原始Expr数据类型的语言，它允许整数值和加法。

这究竟是什么意思“我们已经将签名的递归结联系起来”，这是什么意思Fix Arith是一种等同于原始Expr的语言？

In的实际类型是In :: f (Fix f) -> Fix f如果我们尝试使用In construct和Val 1变量构造一个值，我们将得到以下结果：

> :t  In(Val 1)
> In(Val 1) :: Fix Arith

相同数据类型的Scala编码：

  sealed trait Arith[A]
  case class Val[A](x: Int) extends Arith[A]
  case class Add[A](a: A, b: A) extends Arith[A]

  trait Fix[F[_]]
  case class In[F[_]](exp: F[Fix[F]]) extends Fix[F]

2. fold函数fold函数具有以下签名和实现

哈斯克尔：

fold :: Functor f => (f a -> a) -> Fix f -> a
fold f (In t) = f (fmap (fold f) t)

Scala变种我想出来了

  def fold[F[_] : Functor, A](f: F[A] => A): Fix[F] => A = {
    case In(t) =>
      val g: F[Fix[F]] => F[A] = implicitly[Functor[F]].lift(fold(f))
      f(g(t))
  }

我很好奇的是，在我的Scala版本中，函数g具有以下类型F[Fix[F]] => F[A]但是模式匹配后的变量t的类型是LaCarte$Add with value Add(In(Val(1)),In(Val(2))) ，如何将函数g应用于LaCarte$Add是否有效？ 另外，如果你能帮助我理解fold功能，我将非常感激？

从论文引用：

fold的第一个参数是f-algebra ，它提供与给定签名f相关联的每个构造函数的行为。

Answer 1

这究竟是什么意思“我们已经将签名的'递归结'联系起来了”？

原始的Expr数据类型是递归的，在它自己的定义中引用它自己：

data Expr = Val Int | Add Expr Expr

Arith类型通过用参数替换递归调用来“ Arith ”递归：

data Arith e = Val Int | Add e e

原始的Expr类型可以有任何嵌套深度，我们也想用Arith支持，但最大深度取决于我们为e选择的类型：

• Arith Void不能嵌套：它只能是一个文字值（ Val n ），因为我们不能构造一个Add ，因为我们无法获得Void类型的值（它没有构造函数）

• Arith (Arith Void)可以有一个嵌套级别：外部构造函数可以是Add ，但内部构造函数只能是Lit

• Arith (Arith (Arith Void))可以有两个级别

• 等等

Fix Arith给我们的是一种谈论固定点 Arith (Arith (Arith …)) ，对深度没有限制。

这就像我们如何用非递归函数替换递归函数并使用定点组合器恢复递归：

factorial' :: (Integer -> Integer) -> Integer -> Integer
factorial' recur n = if n <= 1 then 1 else n * recur (n - 1)

factorial :: Integer -> Integer
factorial = fix factorial'

factorial 5 == 120

这是什么意思Fix Arith是一种等同于原始Expr的语言？

Fix Arith代表的语言（语法）等同于Expr代表的语言; 也就是说，它们是同构的：你可以编写一对总函数Fix Arith -> Expr和Expr -> Fix Arith 。

如何将函数g应用于LaCarte$Add是否有效？

我对Scala不太熟悉，但看起来Add是Arith的子类型，因此F[Fix[F]]类型的g参数可以用Arith[Fix[Arith]]类型的值填充，其中你可以通过匹配In构造函数来“展开”一级递归。