Isabelle中的条件定义

Question

假设您要在Isabelle中正式定义以下定义：

add a b = 
 if f(a,b) ≠ 0 then add_1 a b
 if g(a,b) ≠ 0 then add_2 a b

在这里我不想对任何选项给予任何偏爱 。 实际上，我需要证明的下一个属性是：

1. 加法为任何输入分配至少一个值
2. 添加定义明确

在Isabelle中应使用什么来建模此定义？ 也许是部分功能？

你可以看到方程（17）和引理4.3.4，4.3.4 本文 ，看看有什么稃我在说什么。

Answer 1

您可以将function命令与重叠的方程式和前提条件一起使用：

function add :: "..." where
  "add a b = add_1 a b" if "f a b ≠ 0"
| "add a b = add_2 a b" if "g a b ≠ 0"
apply(atomize_elim) (* makes the exhaustiveness goal more readable *)

这给您提供了证明义务，即案例确实是详尽无遗的，并且当它们重叠时，右侧会出现相同的脱节。 显示此内容后，您必须显示终止（如果您的函数不是递归的，则可以通过以下方法轻松完成此操作：

termination by lexicographic_order

如果您的方程式实际上不是穷举的，那么您首先必须添加更多的情况。 在此示例中，您可以添加

| "add a b = undefined a b" if "f a b = 0 & g a b = 0"

表示如果f和g均为0 ，则add ab表示一些未指定的值，并且对于a和b每个这样的选择，该值可能都不同。