f, g, h :: Kleisli ((->) e) ab <=> f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)？

Question

编辑：如果存在这样的函数f ，我们将调用箭头p pure： p = arr f 。

我试图更好地掌握 Haskell 中的 Arrows，我想弄清楚什么时候

f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h) ，其中f , g , h是箭头。

显然，这通常不是真的。 在这个特定的例子中，副作用在右手边重复：

GHCi> c = Kleisli $ \x -> ("AB", x + 1)
GHCi> fst . runKleisli (c >>> c &&& c) $ 1
"ABABAB"
GHCi> fst . runKleisli ((c >>> c) &&& (c >>> c)) $ 1
"ABABABAB"

显然， f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)如果f是纯的。

我在 GHCi 中用f, g, h :: Kleisli ((->) e) ab这个语句试验，并没有设法找到f , g和h这样的值f >>> (g &&& h) ≠ (f >>> g) &&& (f >>> h) 。 对于f, g, h :: Kleisli ((->) e) ab ，这个陈述是否真的正确，如果是这样，这是否是一个有效的证明： Monad ((->) e)是从环境中读取。 因此，应用f的结果是g和h将从环境中读取的函数。 无论这个函数在哪里创建 - 它都是一样的，因为它每次都应用于相同的参数，因此从环境中读取的结果是相同的，因此整体结果也是相同的。

Answer 1

直观地

是的， (->) e monad 是一个 reader monad，我们执行两次读取还是只执行一次都没有关系。 运行f一次或两次无关紧要，因为它总是会产生相同的结果，具有相同的效果（读取）。

你的推理在我看来直觉上是正确的。

正式地

f, g, h :: Kleisli ((->) e) ab本质上意味着f, g, h :: a -> (e -> b) ，移除包装器。

再次忽略包装器，我们得到

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: b -> e -> c)
f >>> g = (\xa xe -> g (f xa xe) xe)

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: a -> e -> c)
f &&& g = (\xa xe -> (f xa xe, g xa xe))

因此：

f >>> (g &&& h)
= { def &&& }
f >>> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe))
= { def  >>> }
(\xa' xe' -> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe)) (f xa' xe') xe')
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))


(f >>> g) &&& (f >>> h)
= { def >>> }
(\xa xe -> g (f xa xe) xe) &&& (\xa xe -> h (f xa xe) xe)
= { def &&& }
(\xa' xe' -> ((\xa xe -> g (f xa xe) xe) xa' xe', (\xa xe -> h (f xa xe) xe) xa' xe'))
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))