编写程序来计算 function 的不同值

Question

$$f_n(x)=\pi(x)\pi(nx)$$

我想编写一个程序，告诉我每个 $n=2,3,4,...,N$ 的$f_n(x)$的不同值，其中$\pi(x)$是素数计数 function。 以下是前几个不同的值：

S={0,0,1,1,2,2,3,2,4,3,4,3,5,4,5,4,6,5,7,5,8,5,7,5 ,8,7,...}。

我怎样才能写出这样的程序？

我尝试使用 Mathematica、wolfram alpha 和 R，但不知道如何让软件告诉我$f_n(x).$的不同值。

我不知道如何使用计算机程序解决这个问题，所以我手动将 n 的前 70 个值一次放入 wolfram alpha 中，并通过查看绘图来计算不同值的数量。 这是我到目前为止所能得到的：

原始素数计数 function 为浅绿色，我的 function 为浅蓝色：（这里我在 x 轴上绘制了 n，在 y 轴上绘制了不同的值）

这是一个 n=9 的示例，对应于两条水平线，对应于 function 的两个不同值：

Answer 1

在R中，您需要 package primes ，然后可以定义您的素数 function $\pi(x)$ 如下：

PIx <- Vectorize(function(x) length(generate_primes(max = x)),vectorize.args = "x")

例如，给定一个输入向量v<-c(0,1,4.5,6.1,10) ，那么PIx(v)给出：

> PIx(v)
[1] 0 0 2 3 4

那么对于你的 function $f_n(x)$，它可以定义为：

PIx <- Vectorize(function(x) length(generate_primes(max = x)),vectorize.args = "x")
f_n <- function(n) unique(PIx(0:n)*PIx(n-(0:n)))

要在改变 $n$ 时查看不同的值，请应用代码Filter(length,sapply(2:n, function(k) f_n(k))) ，例如：

n <- 15
z <- unlist(Map(length,Filter(length,sapply(2:n, function(k) f_n(k)))))-1

它给出了不同级别的列表：

> z
 [1] 0 0 1 1 2 2 3 2 4 3 4 3 5 4

Answer 2

进一步澄清

f[n_, x_] := PrimePi[x]*PrimePi[n - x]

green = {#, PrimePi[#]} & /@ Range[2, 70];

blue = Map[Function[n,
   {n, Length[DeleteCases[Union[f[n, #] & /@ Range[2, 70]], 0]]}],
  Range[2, 70]];

ListPlot[{blue, green}, PlotStyle -> {Blue, Green}, AxesLabel -> {"n", None},
 PlotMarkers -> {Automatic, Medium}, PlotRange -> {{0, 70}, {0, 20}},
 PlotRangePadding -> 0.6, AspectRatio -> 2/7, ImageSize -> 600]

请注意，在n = 60, 61时，OP 的 plot 存在差异。 也许OP记错了。