用生命标记图形

Question

您将获得一个具有整数节点权重和边权重的无向图。

如果一个节点的节点权重为非负，则该节点是“可标记的”，并且标记一个节点将导致其所有邻居节点的权重减少连接两者的边的边权重。 如果标记节点的节点权重低于 0，则它会自动取消标记（并且其邻居边权重的减少也会被撤销）。

求解最大可能的标记节点集。

可能更容易的问题：

• 将边权重限制为正。
• 将边权重限制为全部为 1。
• 求解解集的大小而不是集本身。

这个问题可以在多项式时间内解决吗？ 最好的解决办法是什么？

Answer 1

实际上，这听起来像是最小顶点覆盖问题的推广，已知它是 NP 完全的。

实际上，考虑一个顶点权重为 0 边权重为 1 的图。对于每条边，我们最多可以标记它的一个端点：否则，它们的权重都将为负。 此属性也会倒退，这意味着任何遵循“单一标记端点”属性的标记集也是一个解决方案。 这意味着我们要标记尽可能多的顶点集，以便每条边最多连接到一个标记的顶点。 反过来，这意味着我们想要找到最小可能的未标记顶点集，以便每条边都连接到至少一个未标记顶点。 考虑到没有孤立的顶点，听起来没有标记的顶点是最小的顶点覆盖。