如何通过SAT和优化解决顶点覆盖问题？

Question

所以现在我正在使用 SAT 来解决最小顶点覆盖问题，这是我对图 G = {V,E} 有 k 个顶点覆盖的编码，这里是子句：

Let n = sizeof(V);

首先，至少有一个顶点在顶点覆盖中：

For i in {1..k}
    Add clause (x<1,i> ∨ x<2,i> ∨ ··· ∨ x<n,i>);

那么，没有一个顶点可以在顶点覆盖中出现两次：

For j in {1..n}
    For l and m in {1..k} with l < m
        Add clause (¬x<j,l> ∨ ¬x<j,m>) 

之后，顶点覆盖中的特定位置只能出现一个顶点：

For j in {1..k}
    For l and m in {1..n} with l < m
        Add clause (¬x<l,j> ∨ ¬x<m,j>) 

最后，顶点覆盖中至少有一个顶点应该来自边：

For i and j in each edge e from E
    Add clause (x<i,1> ∨ x<i,2> ∨ ... ∨ x<i,k> ∨ x<j,1> ∨ ... ∨ x<j,k>)

现在我可以通过使用这种编码获得最小顶点覆盖，但效率很差。 我只能得到< 20个顶点的任何图的结果，否则只需要几分钟和几小时才能得到结果。 我现在正在考虑从 SAT 进一步减少它，也许到 3SAT。 但看起来我不能简单地将所有子句从 nCNF 更改为 3CNF 以获得相同的结果。 任何人都可以帮我弄清楚我接下来应该做什么吗？ 我需要全新的编码吗？

非常感谢。

顺便说一句，我使用 MiniSAT 作为求解器。

Answer 1

首先，让我假设我在理解您的编码时遇到了一些麻烦，所以我将从头开始。 这就是我将如何解决这个问题。

注意：我的示例基于SMT-LIB语法，可以使用MaxSMT求解器进行求解，例如z3和optimathsat 。 但是，由于它不使用任何 SMT 功能，您实际上可以使用MaxSAT比赛中使用的标准 WCNF 格式编写相同的内容。 在选择求解器来处理问题时，这将为您提供更多选择。 我可能错了，但我推测MaxSAT求解器在这个特定问题上的性能可能优于MaxSMT求解器。

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设 G = {V, E} 是一个图。

首先，为图中的每个顶点声明一个布尔变量：

(declare-fun vertex_1 () Bool)
...
(declare-fun vertex_K () Bool)

（任何没有边的顶点都应该被省略，因为它只会浪费时间。）

其次，为图中连接顶点i和顶点j每条边声明一个布尔变量（假设无向）

(declare-fun edge_i_j () Bool)
...

第三，断言每条边edge_i_j必须被覆盖：

(assert edge_i_j)
...

第四，如果边edge_i_j被覆盖，则顶点i或顶点j必须为true ：

(assert (=> edge_i_j (or vertex_i vertex_j)))
...

第五，对于每个vertex_i用一个软子句断言vertex_i应该是false 。 如果不是这种情况，则对cover的值进行值1的惩罚：

(assert-soft (not vertex_i) :weight 1 :id cover)

最后，解决问题：

(set-option :config opt.maxsmt_engine=maxres) ; only for optimathsat
(minimize cover)                              ; only for optimathsat
(check-sat)
(get-objectives)
(get-model)

在这一点上，可以使用任何高效的MaxSAT/MaxSMT引擎（例如MaxRes ）来获得一个模型，该模型覆盖所有边，同时使用最少数量的顶点（如果有）。