检查是否可以从 DG 中的节点 S 到达节点 T

Question

在无向图中，很容易将图预先划分为组件并用标识组件的数字标记它们。 因此，如果它们都具有相同的标签，则检查是否可以通过 S 的路径到达节点 T 是正确的。

是否可以在有向图中做类似的事情？ 基本上，预先计算然后做一个简单的查找是否可以在没有任何类型的 DFS 的情况下从 S 到达 T？

Answer 1

除了最简单的可达性矩阵实现及其优化（具有 O(n^2) 的复杂性）。恐怕没有恒定时间查找。

不过有一些有趣的想法。 我将在下面列出其中两个：

1) 找到一组覆盖原始图 G 的树。这样

每个顶点 V 的索引如下：

For each t_i in T

    V is indexed by (t_i, a, b) where a is the smallest postorder of descendants in the tree and b is the postorder of V in the tree.

为了查询 reach(u, v)，我们要找到是否存在一对(t_i, a_u, b_u)和(t_i, a_v, b_v)使得u_a <= v_b < u_b 。 详情请见

R. Agrawal、A. Borgida 和 HV Jagadish。 大数据和知识库中传递关系的有效管理。 在 1989 年 ACM SIGMOD 数据管理国际会议论文集 (SIGMOD 1989)，1989 年。

然后问题被简化为如何找到覆盖图 G 的树 T 的最小集合。有多种方法可以做到这一点。

2) 另一种方法是 n-hop（参见 SODA 02 出版物）

Edith Cohen、Eran Halperin、Haim Kaplan、Uri Zwick 通过 2-hop 标签进行的可达性和距离查询

Let G = (V, E) be a directed graph. 
For v in V
    L(v) = (L_in(v), L_out(v)), such that L_in(v), L_out(v) ⊆ V and there is a path from every x ∈ L_in(v) to v and from v to every x ∈ L_out(v).  

然后将问题简化为找到最佳的 2 跳覆盖

设 G = (V, E) 为图。 对于每个 u，v ∈ V，设 P_uv 是从 u 到 v 的路径集合（对于无向图，我们有 P_uv ≡ P_vu）。 让 P = {P_uv}。 我们将跳定义为一对 (h, u)，其中 h 是 G 中的一条路径，u ∈ V 是 h 的端点之一。 我们将 u 称为跳的句柄。 如果对于每个 u, v ∈ V 使得 Puv 6= φ，存在路径 p ∈ Puv，并且两个跳 (h1, u) ∈ H 并且(h2, v) ∈ H，使得p = h1h2，即p是h1和h2的级联。 覆盖层的大小为|H|，即H中的跳数。