如何使用 scipy.optimize.fmin_l_bfgs_b 拟合递推关系？

Question

我最近观看了Veritasium 的一段视频，他在视频中对物流地图进行了精彩的讨论。 它让我思考递推关系，以及参数递推关系如何适合数据。

我想在 $\\hat y_{n+1} = \\theta \\hat y_{n}(1-\\hat y_{n})$ 中参数化 $\\theta$ 序列 $y_k \\in [0, 1 ]$ 其中 $k=n+1$ 通过使用Scipy 中可用的L-BFGS-B 算法最小化均方误差。 这个例子对我概括以将其他递归关系拟合到现实世界的数据很有启发性。 我如何实现目标函数，其中预测值是递推关系的输出，以便它可以传递给fmin_l_bfgs_b的func参数？

Answer 1

如果我正确理解你的问题，你想找到最小化 $\\sum_{n=0}^{N-1} (\\hat y_{n+1} - \\theta \\hat y_{n } (1 - \\hat y_{n}))^2$，给定一个序列 ${\\hat y_k}_{k=0}^N$。 如果是这样，假设您的数据是ys并且您的初始猜测是x0 ，您可以通过

def f(l): 
    t = l[0] 
    return ((ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])))**2).sum()

fmin_l_bfgs_b(f, x0=(x0,), approx_grad=True)

例如，如果我们创建一些theta大约为 3 的数据：

In [43]: import numpy as np 
    ...: ys = [0.3] 
    ...: theta = 3 
    ...: for _ in range(100): 
    ...:     ys.append((np.random.uniform(-0.02, 0.02) + theta)*ys[-1] * (1 - ys[-1])) 
    ...: ys = np.array(ys) 
    ...:                                                                                        

In [44]: def f(l): 
    ...:     t = l[0] 
    ...:     return ((ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])))**2).sum() 
    ...: fmin_l_bfgs_b(f, x0=(0.5,), approx_grad=True)                                          
Out[44]: 
(array([2.99949454]),
 0.0006258145273212467,
 {'grad': array([-5.70908338e-07]),
  'task': b'CONVERGENCE: NORM_OF_PROJECTED_GRADIENT_<=_PGTOL',
  'funcalls': 6,
  'nit': 2,
  'warnflag': 0})

当然，在这里你也可以提供梯度； 我只是有点懒。

但是，如果这确实是您想要做的，那么您很可能需要针对最小二乘问题量身定制的东西（例如 Levenberg--Marquardt）； 在 SciPy 中，此类方法在scipy.optimize.least_squares中可用。 有了这些，您的问题归结为以下几点：

def F(t): 
    return ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1]))

least_squares(F, x0=x0)

根据上面的数据：

In [53]: def F(t): 
    ...:     return ys[1:] - (t * ys[:-1] * (1 - ys[:-1])) 
    ...:                                                                                        

In [54]: least_squares(F, x0=0.5)                                                               
Out[54]: 
 active_mask: array([0.])
        cost: 0.00031290726365087974
         fun: ...
        grad: array([-2.43698605e-09])
         jac: ...
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 4
        njev: 4
  optimality: 2.4369860459044074e-09
      status: 1
     success: True
           x: array([2.9994946])