Z3 中的地板和天花板 Function 实施

Question

我已尝试按照以下链接中的定义实现地板和天花板 Function

https://math.stackexchange.com/questions/3619044/floor-or-ceiling-function-encoding-in-first-order-logic/3619320#3619320

但 Z3 查询返回反例。

地板 Function

_X=Real('_X')
_Y=Int('_Y')
_W=Int('_W')
_n=Int('_n')
_Floor=Function('_Floor',RealSort(),IntSort())
..
_s.add(_X>=0)
_s.add(_Y>=0)
_s.add(Implies(_Floor(_X)==_Y,And(Or(_Y==_X,_Y<_X),ForAll(_W,Implies(And(_W>=0,_W<_X),And(_W ==_Y,_W<_Y))))))
_s.add(Implies(And(Or(_Y==_X,_Y<_X),ForAll(_W,Implies(And(_W>=0,_W<_X),And(_W==_Y,_W<_Y))),_Floor(_X)==_Y))
_s.add(Not(_Floor(0.5)==0))

预期结果 - 不满意

实际结果 - 星期六

天花板 Function

_X=Real('_X')
_Y=Int('_Y')
_W=Int('_W')
_Ceiling=Function('_Ceiling',RealSort(),IntSort())
..
..
_s.add(_X>=0)
_s.add(_Y>=0)
_s.add(Implies(_Ceiling(_X)==_Y,And(Or(_Y==_X,_Y<_X),ForAll(_W,Implies(And(_W>=0,_W<_X),And(_W ==_Y,_Y<_W))))))
_s.add(Implies(And(Or(_Y==_X,_Y<_X),ForAll(_W,Implies(And(_W>=0,_W<_X),And(_W==_Y,_Y<_W)))),_Ceiling(_X)==_Y))
_s.add(Not(_Ceilng(0.5)==1))

预期结果 - 不满意

实际结果 - 星期六

Answer 1

[您的编码不会加载到 z3，即使在消除“..”之后也会出现语法错误，因为您对Implies的调用需要一个额外的参数。 但我会忽略这一切。]

简短的回答是，你不能在 SMT-Solver 中真正做这种事情。 如果可以，那么您可以求解任意丢番图方程。 只需根据 Reals 进行转换，解决它（Reals 有一个决策过程），然后通过说Floor(solution) = solution添加额外的约束，即结果是 integer 。 因此，通过这个论点，您可以看到对此类函数进行建模将超出 SMT 求解器的能力。

有关详细信息，请参阅此答案： 在 QF_UFNRA 中获取实数的小数部分

话虽如此，但这并不意味着您不能在 Z3 中对其进行编码。 这只是意味着它将或多或少无用。 这是我将如何 go 关于它：

from z3 import *

s = Solver()

Floor = Function('Floor',RealSort(),IntSort())

r = Real('R')
f = Int('f')
s.add(ForAll([r, f], Implies(And(f <= r, r < f+1), Floor(r) == f)))

现在，如果我这样做：

s.add(Not(Floor(0.5) == 0))
print(s.check())

你会得到unsat ，这是正确的。 如果您改为这样做：

s.add(Not(Floor(0.5) == 1))
print(s.check())

你会看到 z3 只是永远循环。 为了使其有用，您还希望以下内容也能正常工作：

test = Real('test')
s.add(test == 2.4)
result = Int('result')
s.add(Floor(test) == result)
print(s.check())

但同样，您会看到 z3 只是永远循环。

所以，底线：是的，您可以使用 model 这样的构造，并且 z3 将正确回答最简单的查询。 但是对于任何有趣的事情，它都会永远循环下去。 （基本上，只要您期望sat和大多数unsat场景，除非它们可以不断折叠，否则我希望 z3 简单地循环。）正如我所提到的，这是有充分理由的：这样的理论只是无法确定，并且远远超出了 SMT 求解器的能力范围。

如果您对此类函数的建模感兴趣，最好的选择是使用更传统的定理证明器，例如 Isabelle、Coq、ACL2、HOL、HOL-Light 等。 他们更适合解决这类问题。 此外，请阅读在 QF_UFNRA 中获取实数的小数部分，因为它涉及如何使用非线性实数算术对此类函数进行建模的其他一些细节。