无限精度的数学库是如何实现的？

Question

所以我知道浮点精度（以及 1.1 之类的东西如何不能用二进制精确表示）等等，但我想知道：那么，与数学相关的库如何实现无限精度？ 换句话说，例如，您如何用二进制准确表示 1.1？ 只是一个简短的描述就很好了，我自己可以弄清楚确切的细节。 谢谢。 :)

Answer 1

没有无限精度的库，但是有任意精度的库。 有关如何实现这些的详细信息，请阅读一些文档:-)

要以二进制精确表示 1.1，不能像您正确指出的那样使用浮点数。 如果将整数部分（1）存储为一个 integer，将小数部分（.1）存储为另一个 integer，则可以表示，然后您需要创建逻辑来处理这些结构。 或者，它可以存储为分数 (11/10)，分母和分子都存储为整数。

Answer 2

如果您真的是指无限精度，则有两种选择：

• 使用某种形式的惰性计算。 然后，您可以在执行计算“之后”要求一个数字尽可能多的精度（因为它是惰性的，它实际上只在那时完成）。 缺点是这是非常低效的。 您可以使用 Haskell 之类的语言使用表示重叠的特殊数字系统来执行此操作，例如以数字为 -1、0、1 的基数 2。通常的表示是不合适的，因为在说 1 时，您需要无限精度来决定输出 0 0.999... 1 表示 1.000...

• 象征性地进行计算。 准确表示整数、有理数、根等。 如果你想决定平等，这是必需的，但效率低下，仅限于特殊情况。

Answer 3

没有实现具有无限精度的数学库。 这是不可能的。 数字 1/3 不能用分数以外的有限位数来表示。 像 pi 和 e 这样的超越数不能以任何方式完全表示。

另一方面，可以创建非常精确的数学库。 这完全是为浮点值的尾数分配足够的位的问题。

Answer 4

某些几何算法依赖于精确算术，因此如果您查看 CGAL 库，您会发现在各种操作下“闭合”的各种精确数值类型。 也就是说，无法使用支持的操作来生成无法准确表示的结果。

一些例子：

• 整数在加法和乘法下是封闭的。

• 除了零的特殊情况外，有理数在除法下也是封闭的。 可以表示为一对整数。 另请参阅GMP 中的有理数函数。 例如 1.1 = 11/10，可以表示为 (11, 10)。

• 在平方根下也是封闭的数字类型。

Answer 5

您还可以用十进制表示数字并进行十进制算术运算。 在每个数字都用二进制代码表示的意义上，底层表示是二进制的。 每个数字——无论是小数点左边还是右边——都被视为 integer。然后“手动”逐个数字地进行算术运算。

基于十进制的库的一个示例是 PHP 中的 BCMath。

Answer 6

当我们谈论浮点数和数字时，虽然 Pax 完全正确，但我相信有一个解决方案，但它非常低效。
您可以使用字符串来表示您的数字，字符串不会丢失精度。
每当你有一个像“0.0001”+“0.1”这样的数字时，你就会迭代这两个字符串并只将当前的 position 转换为一个 int。
步骤1：
0 + 0 = 0 -> 转换为字符串并分配给数据[0]。
第2步：
0 + 1 = 1 -> 转换为字符串并分配给数据[1]。
第 3 步：
iter > "0.1".lenght() -> 停止。