为什么我们测量时间复杂度而不是步长复杂度？

Question

当我第一次在算法上使用 class 时，我对在谈论渐近时间复杂度时实际测量的内容感到困惑，因为它肯定不是计算机运行程序所花费的时间。 相反，我的心理 model 是我们正在测量渐近步复杂度，即 CPU 运行算法所需的渐近步数。

我们为什么要推理时间复杂度而不是步骤复杂度，并谈论算法需要多少时间而不是 CPU 执行算法需要多少步（渐近地）？

Answer 1

实际上，步数是决定因素，条件是步的持续时间不依赖于输入——它永远不应该比某个选定的恒定时间花费更多的时间。

该恒定时间到底是多少，取决于您运行它的系统。 有些 CPU 只是比其他 CPU 快，有些 CPU 更专注于一种操作，而不太专注于另一种操作。 因此，两个不同的步骤可能代表不同的时间：在一个 CPU 上，步骤A可能以比步骤B更短的延迟执行，而在另一个 CPU 上则可能相反。 甚至可能是，在同一个 CPU 上，步骤A有时可以比其他时间执行得更快（例如，由于该 CPU 的 pipe 中的某些有利条件）。

所有这一切都使得仅仅通过测量运行一个步骤的时间来说出有用的话是不可能的。 相反，我们认为我们在算法中确定的所有不同类型的“步骤”都有一个最大时间（对于给定的 CPU），这样一个步骤的单独执行将永远不会超过该最大时间。

因此，当我们谈论时间复杂度时，我们确实会谈到算法将花费的时间。 如果算法具有O(n²)时间复杂度，这意味着我们可以找到一个值minN和一个常数时间C （我们可以自由选择这些），这样对于每个n >= minN ，运行算法以T < Cn²为界。 请特别注意T和C不是步骤数，而是真正的时间度量（例如毫秒）。 然而， C的选择将取决于 CPU 和我们为它的步进执行找到的最大值。 所以我们实际上并不知道C通常会有哪个值，我们只是证明每个 CPU（或执行算法的任何东西）都存在这样的C 。

简而言之，我们在一个步骤和一个时间单位之间进行了等价，这样一个步骤的执行就可以保证受到该时间单位的限制。

Answer 2

你是对的，我们测量了算法在图灵机上运行的计算步骤。 但是，我们不会计算每一步。 相反，我们通常对忽略常数因素的算法的运行时间差异感兴趣，就像我们在使用O-notation时所做的那样。

另外，我相信这个词很容易掌握。 当您谈论算法需要多少时间时，每个人都对您的意思有基本的理解（我什至可以向我母亲解释）。 但是，如果您谈论算法需要多少步，您可能会发现自己正在讨论计算 model（什么样的 CPU）。

时间复杂度这个词没有错（事实上，我相信这正是我们正在寻找的）。 术语步骤复杂性会产生误导。