Dijkstra 算法

Question

在阅读 Dijkstra 算法时，我发现您应该实现最小堆。 我尝试实现最小堆并且该算法有效，但是当我不使用最小堆函数而只是从索引 0 处弹出顶点时，它也有效。

我很困惑，当我们无论如何要探索堆中的所有顶点时，为什么我们需要始终选择具有最小距离的顶点进行探索。

例如：

from heapq import heappop, heappush
from math import inf

graph = {
        'A': [('B', 10), ('C', 3)],
        'C': [('D', 2)],
        'D': [('E', 10)],
        'E': [('A', 7)],
        'B': [('C', 3), ('D', 2)]
    }


def dijkstras(graph, start):
  distances = {}
  
  for vertex in graph:
    distances[vertex] = inf
    
  distances[start] = 0
  vertices_to_explore = [(0, start)]
  while vertices_to_explore:
    current_distance, current_vertex = heappop(vertices_to_explore) # this piece of code
    #current_distance, current_vertex = vertices_to_explore.pop(0) # vs. this piece of code
    for neighbor, edge_weight in graph[current_vertex]:
      new_distance = current_distance + edge_weight
      
      if new_distance < distances[neighbor]:
        distances[neighbor] = new_distance
        heappush(vertices_to_explore, (new_distance, neighbor))
        
  return distances
        
distances_from_d = dijkstras(graph, 'D')
print("\n\nShortest Distances: {0}".format(distances_from_d))

为什么在 pop(0) 工作相同时使用 heappop ......是因为运行时间吗？ 如果是这样，为什么它运行得更快？

谢谢

Answer 1

我们使用最小堆并在每一步取最小距离的顶点，因为 Dijkstra 算法以贪婪的方式工作； 没有比当前步距最近顶点的路径更短的路径。 这是正确的，因为所有距离都是正数。

在上面的代码中，常规未排序列表的pop(0)与堆的heappop() pop(0)工作方式相同，这一heappop()与作为输入给出的图上的巧合有关（而不是算法）。

Answer 2

该算法与vertices_to_explore.pop(0)一起工作的原因纯粹是运气。 在最小堆中，最小的条目总是在零位置。 因此，如果vertices_to_explore是适当的堆，则返回的元素是相同的，无论您使用的是pop(0)还是heappop 。

重要的是之后会发生什么。 heappop将维护堆属性。 pop(0)不会那样做。 您的图（以及堆）足够小，因此两种方法在堆上的操作几乎相同。 但是，只要您的图增长，堆的非堆肥性就会破坏算法，并且pop(0)变体将返回错误的结果。

Answer 3

我们实现 minheaps 的方式，最小项目的概率将更接近索引 0。这意味着在索引 0 处弹出可能会接近小输入集的最小值，如果堆推送重新堆化列表，则 idk，但没有 heappop 它是不会给你任何保证，它肯定不再是 dijkstras 算法。 （它甚至可能不能保证正常工作，但这是推测，直到我有时间验证这一点）。

它可能会更快，因为可以在 O(1) 时间内完成在零处的弹出（可能根据实现进行摊销），而 heappop 仅保证 O(log N)。 然而，对于非常大的图，heappop 可能会给你一个更好的机会更快地找到最短路径（并保证正确性），因此在检查顶点总数的一小部分后终止算法。 因为虽然检查所有顶点和边确实是最坏的情况，但最好的情况要好得多。