需要 O(n^2) 计算协助

Question

我似乎无法弄清楚这一点：5n2 + 3n + 9 = O(n2)。 选择 c 和 n0。 使用 f(n) <= cg(n) 证明。

我尝试将其压缩为 3n + 9 / c - 5 <= n^2，但仍然无法找到解决方案。 我想我只是从错误的方式接近它。

Stackoverflow，请帮帮我！ :)

Answer 1

您不必获得最佳常数。 如果您正在处理多项式，n ₀ = 1 可能是一个不错的选择，因为 n ≥ n ₀意味着 n ² ≥ n ≥ 1，所以

  2              2     2     2      2
5n  + 3n + 9 ≤ 5n  + 3n  + 9n  = 17n ,

你可以设置 c = 17。

Answer 2

我不太明白这个问题，但如果你只想证明“5n^2 + 3n + 9 = O(n^2)”，你必须证明“(5n^2 + 3n + 9)/n当 n -> +inf" 时，R 中的 ^2 -> k。 这很容易证明：“(5n^2 + 3n + 9)/n^2 = 5 + 3/n + 9/n^2 -> 5 + 0 + 0”

Answer 3

取 c=11，n0=2。 然后我们要显示 f(n) = 5n^2 + 3n + 9 < 11*g(n) = 11n^2 对于所有 n>= n0。 等效地，证明 6n^2 - 3n - 9 >= 0 对于所有 n >= n0。 这个表达式因子为 (6n-9)(n+1) >= 0。这仅在 (-1, 1.5) 上为负，因此对于所有 n > 2 我们有 f(n) < c*g(n)。

Answer 4

根据定义：

O(g(n)) = { f(n) ：存在正常数 c 和 n ₀使得 0 ≤ f(n) ≤ g(n) 对于所有 n ≥ n ₀ }

让我们做一些数学计算来找到一个可行的c和n ₀ ：

如果我们取 n ₀ = max(1, 3) = 3 那么上面的不等式成立。 此外，我们知道 c ≥ 9 所以我们可以取 c = 9 并且在满足定义要求时完成工作。