N 数的除数之和

Question

找到然后求和从 1 到 N 的所有除数。
主要问题是，此代码在高数字下运行非常糟糕。

以下代码取自： https : //www.geeksforgeeks.org/sum-divisors-1-n

        static int divisorSum(int n)
        {
            int sum = 0;

            for (int i = 1; i <= n; ++i)
            {
                for (int j = 1; j * j <= i; ++j)
                {
                    if (i % j == 0)
                    {
                        if (i / j == j)
                            sum += j;
                        else
                            sum += j + i / j;
                    }
                }
            }
            return sum;
        }

Answer 1

基于@Joel 解决方案，我只是对其进行了改进：

static long divisorSum(int n)
{
   long sum = 0;
   for (long i = 1; i <= n/2; ++i)
      sum += i * (n / i);
   sum += (n/2+1+n)*(n-n/2)/2; // It's a sum of an arithmetic progression‏‏‏‏
   return sum;
}

对于i > n/2 ，表达式i * (n / i)就是简单的i （因为n/i = 1），所以我们可以通过计算n/2 + 1到n之间的所有数字的总和来获得一个等差数列。 它会运行得更快，尽管它也是O(n) 。

Answer 2

无需使用各种集合，因为您将所有内容汇总在一起，无需考虑重复项。 我不认为有办法解决这个问题，这是一个完美的O(n) ，但这是我能想到的最接近的：

int sum = 0;

for (int i = 1; i <= n; i++) 
{
    double sqrt = Math.Sqrt (i);

    for (int j = 1; j <= sqrt; j++) 
    {
        if (i % j == 0) 
        {
            sum += j;

            if (j != sqrt)
                sum += i / j;
        }
    }
}

除数是成对的，所以不需要每次都一直到i （例如1 * 10 、 10 * 1是相同的）。 您可以计算i的平方根（“中点”），并节省时间，因此它不是O(n^2) ，但也不是完美的O(n) 。

Answer 3

你可以做这样的事情O(n) ：

static long divisorSum(int n)
{
    long sum = 0;
    for (long i = 1; i <= n; ++i)
        sum += i * (n / i);
    return sum;
}

static void Main(string[] args)
{
    int val = 129999;
    Console.WriteLine(divisorSum(val));
    Console.ReadLine();
}

测试：

12999 => 8ms
129999 => 25ms
2147483647 => 18770ms (Max Int32 value)

---

int val = 129999;
int maxInt = int.MaxValue;

//val (129999)
var watch = System.Diagnostics.Stopwatch.StartNew();
Console.WriteLine(divisorSum(val));
watch.Stop();
var elapsedMs = watch.ElapsedMilliseconds;
Console.WriteLine(elapsedMs); //25ms

//MaxInt (2147483647)
watch = System.Diagnostics.Stopwatch.StartNew();
Console.WriteLine(divisorSum(maxInt));
watch.Stop();
elapsedMs = watch.ElapsedMilliseconds; //18770ms 
Console.WriteLine(elapsedMs);
Console.ReadLine();