模拟基本随机过程 Python

Question

我试图在 Python 中模拟一个简单的随机过程，但没有成功。 过程如下：

x(t + δt) = r(t) * x(t)

其中r(t)是伯努利随机变量，可以取值 1.5 或 0.6。

我试过以下方法：

n = 10
r = np.zeros( (1,n))

for i in range(0, n, 1):
    if r[1,i] == r[1,0]:
        r[1,i] = 1
    else:
        B = bernoulli.rvs(0.5, size=1)
        if B == 0:
            r[1,i] = r[1,i-1] * 0.6
        else:
            r[1,i] = r[1,i-1] * 1.5

你能解释为什么这是错误的以及可能的解决方案吗？

Answer 1

因此，首先是 SDE 应该随着时间的推移而被感知，因此您还需要考虑离散化而不是仅仅给出通过n的步数。

本质上，您要问的只是一个简单的随机游走，伯努利随机变量取值 0.5 和 1.6，而不是高斯（标准正态）随机变量。

所以我在这里创建了一个答案，使用 NumPy 创建伯努利随机变量以提高效率（numpy 比 scipy 快），然后以 0.01 的步长运行模拟，然后使用 matplotlib 绘制解决方案。

需要注意的是，这个 SDE 是一维的，所以我们可以将 state 和时间存储在单独的向量中，最后将 plot 存储起来。

# Function generating bernoulli trial (your r(t))

def get_bernoulli(p=0.5): 
    '''
    Function using numpy (faster than scipy.stats)
    to generate bernoulli random variable with values 0.5 or 1.6
    '''
    B = np.random.binomial(1, p, 1)
    if B == 0:
        return 0.6
    else:
        return 1.5

然后在模拟中将其用作

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.01 #step size
x0 = 1# initialize
tfinal = 1 
sqrtdt = np.sqrt(dt)
n = int(tfinal/dt)

# State and time vectors
xtraj = np.zeros(n+1, float)
trange = np.linspace(start=0,stop=tfinal ,num=n+1)

# initialized
xtraj[0] = x0

for i in range(n):
    xtraj[i+1] = xtraj[i] * get_bernoulli(p=0.5)
    
plt.plot(trange,xtraj,label=r'$x(t)$')
plt.xlabel("time")
plt.ylabel(r"$X$")
plt.legend()
plt.show()

我们假设伯努利试验是公平的，但可以定制以添加更多变化。