在统一过程中，高级类型的实例化和包含如何交互？

Question

如果量词出现在逆变 position: f:: (forall a. [a] -> b) -> Bool

关于这种类型的统一，类型变量a比b更严格，因为适用以下实例化规则：

• a可以使用灵活的类型变量进行实例化，前提是这不允许a转义其 scope
• 或使用另一个刚性类型变量
• 但不是非抽象类型，因为不是foo的调用者而是foo本身决定a是什么，而b已经由调用者确定

然而，一旦包容开始发挥作用，事情就会变得更加复杂：

{-# LANGUAGE RankNTypes #-}

f :: (forall a. [a] -> [a]) -> Int -- rank-2
f _ = undefined

arg1a :: a -> a
arg1a x = x

arg1b :: [Int] -> [Int]
arg1b x = x

f arg1a -- type checks
f arg1b -- rejected

g :: ((forall a. [a] -> [a]) -> Int) -> Int -- rank-3
g _ = undefined

arg2a :: (a -> a) -> Int
arg2a _ = 1

arg2b :: (forall a. a -> a) -> Int
arg2b _ = 1

arg2c :: ([Int] -> [Int]) -> Int
arg2c _ = 1

g arg2a -- type checks
g arg2b -- rejected
g arg2c -- type checks

h :: (((forall a. [a] -> [a]) -> Int) -> Int) -> Int -- rank-4
h _ = undefined

arg3a :: ((a -> a) -> Int) -> Int
arg3a _ = 1

arg3b :: ((forall a. a -> a) -> Int) -> Int
arg3b _ = 1

arg3c :: (([Int] -> [Int]) -> Int) -> Int
arg3c _ = 1

h arg3a -- rejected
h arg3b -- type checks
h arg3c -- rejected

立即引起注意的是子类型关系，每个附加逆变换 position 都会翻转。 应用g arg2b被拒绝，因为(forall a. a -> a) a.a -> a) 比(forall a. [a] -> [a])更具有多态性，因此(forall a. a -> a) -> Int更少多态比(forall a. [a] -> [a]) -> Int 。

我不明白的第一件事是为什么g arg2a被接受。 仅当两个术语都处于较高级别时，包含才起作用吗？

然而， g arg2c类型检查的事实让我更加困惑。 这不是明显违反了刚性类型变量a不能用像Int这样的单型实例化的规则吗？

也许有人可以为这两个应用程序制定统一过程..

Answer 1

我们有

g :: ((forall a. [a] -> [a]) -> Int) -> Int
arg2c :: ([Int] -> [Int]) -> Int

在g arg2c中应用。

要对此进行类型检查，只需验证参数的类型是 function 域类型的子类型即可。 即我们有

([Int] -> [Int]) -> Int <: ((forall a. [a] -> [a]) -> Int)

根据子类型规则，我们有(a->b) <: (a'->b')当且仅当b<:b'和a'<:a 。 所以上面等价于

Int <: Int
forall a. [a] -> [a] <: [Int] -> [Int]

第一个不等式是微不足道的。 第二个是成立的，因为一个foall类型是每个实例的子类型。 形式上， (forall a. T) <: T{U/a}其中{U/a}表示将类型变量a替换为类型U 。 因此，

forall a. [a] -> [a] <: ([a] -> [a]){Int/a} = [Int] -> [Int]