有效解决集合分组问题

Question

问题陈述：

我们有 N 个集合，每个集合最多包含 M 个元素。 我们必须按以下方式合并这些集合：- 我们可以合并（联合）2 个集合以创建一个 2 个成员组。 我们可以合并（联合）3 个集合来创建一个 3 个成员组。 我们可以合并（联合）4 个集合来创建一个 4 个成员组。 一组只能是一个组的成员（2 个成员、3 个成员或 4 个成员组）。 2个成员组的最大数量为n2，3个成员组的最大数量为n3，同样n4。 不一定要合并每个集合，如果这样可以最大化我们的目标，我们可以继续跳过一些集合。 我们将形成的组的大小定义为其中不同元素的数量。

现在我们的目标是最大化所有组大小的平方和。

约束：

1<=N<=10**5

1<=M<=10**6

0<=n2,n3,n4<=5*10**4

例子：

我们有五个集合： {1,2,3},{4,5,6},{2,4,7},{6,5,4},{6,7}和0<=n2,n3,n4<=3 。 请注意，第 2 组和第 4 组是相同的，因为它们具有相同的元素。 但是没有集合中有重复的元素。

现在，此示例的解决方案包括合并第 2 组和第 5 组以产生 2 个成员组{4,5,6} + {7,6} = {4,5,6,7}并将三组的 rest 合并为给一个 3 成员组{1,2,3} + {2,4,7} + {6,5,4} = {1,2,3,4,5,6,7} 。 这种合并产生大小的平方和s = 4**2 + 7**2 = 65作为我们的最终结果。 并不是说任何其他分组组合都会产生更少的大小平方和。

我只能看到需要大量运行时间的蛮力方法，因为所有可能的组合太多了。

我的解决方案（不完整且不接受建议）：

让我们为每个集合分配一个组号，这将帮助我们跟踪哪个集合合并到哪个组中。 如果一个集合被分配了数字0 ，这意味着这个集合没有合并到任何组中。 如果一个集合被分配了一个在[1,n2]范围内的数字（包括两个限制），这意味着这个集合被合并到一个 2 个成员组中（并且还告诉这个集合被合并到哪个 2 个成员组中）。 如果一个集合被分配了一个在[n2+1,n2+n3]范围内的数字（包括两个限制），则表明该集合被合并到一个 3 成员组中。 同样，可以为集合分配[n2+n3+1,n2+n3+n4]范围内的数字。

现在我们可以如下维护一个二维 dp。 Dp[i]是i elements的列表，告诉我们前i个集合是如何分组的。 因此dp[i][j]是当迭代前i个集合时分配给jth集合的组号。 dp[i]可以如下计算。 第 i 个集合可以分为

2个成员组

或 3 个成员组

或 4 个成员组

或未分组在任何组中

我们可以遍历每一种可能性并使用最大化我们目标的一种（但仍然不确定如何）。