C++ 算法复杂度？

Question

我写了以下代码：

class Solution {
public:
    int countPrimes(int n) {
        if (n==0 || n==1)
            return 0;
        int counter=n-2;
        vector<bool> res(n,true);
        for (int i=2;i<=sqrt(n)+1;++i)
        {
            if (res[i]==false)
                continue;
            for (int j=i*i;j<n;j+=i)
            {
                if (res[j]==true)
                {
                    --counter;
                    res[j]=false;
                }
            }
        }
        return counter;
    }
};

但找不到它的复杂性，根据我的计算，内部循环运行n/2 + n/3 +... + n/sqrt(n)

Answer 1

好的，让我们先尝试从你的公式中得到总和（我将使用你命名变量的约定）：

现在，请注意 n 是总和中的一个常数，因此可以将它移到总和之外。

现在，我们有一部分是线性的，还有一部分我们仍然需要估计，但如果你仔细观察，它与调和级数非常相似，实际上对于 n 趋于无穷大的是调和级数 - 1。

它的增长率众所周知 ln(n) + 1.( https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_series_(mathematics)

因此，算法的复杂度为 n*ln(n)。

更新

Beta 答案具有正确的结果（使用正确的起点），我将保留上述答案，因为程序保持不变，而且答案，恕我直言，它仍然有用。

Answer 2

“...根据我的计算，内部循环运行 n/2 + n/3 +... + n/sqrt(n)”

啊，小心那个省略号。 它实际上运行

n/2 + n/3 + n/5 + n/7 + n/11 + ... + n/sqrt(n)

这不是调和级数的n倍，而是质数倒数和的n倍，总和的增长为 log(log(greatest denominator)) 。

所以算法的复杂度是O(n log log(n))。