查找满足条件的两个 arrays 之间的和组合数

Question

问题：

我有 2 个 arrays A [ v ] 和M [ w ]，长度分别为v和w 。 给定两个数字p和q ，我想找出这些 arrays 的两个元素之和有多少组合满足以下条件：

p >= A [ v ] + M [ w ] <= q

一个例子：

让：

A = [9, 14, 5, 8, 12, 2, 16],
v = 7,
M = [6, 2, 9, 3, 10],
w = 5,
p = 21,
q = 24

由于以下组合，答案将是 5：

1. 14 + 9 = 23
2. 14 + 10 = 24
3. 12 + 9 = 21
4. 12 + 10 = 22
5. 16 + 6 = 22

我试过的：

下面是C++中问题的实现：

int K = 0; // K is the answer
for (int i=0; i<v; i++) {
    for (int j=0; j<w; j++) {
        if (A[v]+M[w] >= p && A[v]+M[w] <= q) {
            ++K;
        }
    }
}

正如我们所看到的，上面的代码在循环中使用了循环，从而使程序的时间复杂度Ο ( v×w )，对于大型 arrays 来说相当慢。

问题

有没有最快的方法来解决这个问题？

Answer 1

问题总结：给定两个 arrays A和B ，大小分别为v和w ，求A中的一个元素和B中的一个元素的可能配对数，使得这两个元素的总和为>= p和<= q 。

简单的蛮力算法本质上就是您目前所拥有的。 蛮力算法将简单地涉及测试所有可能的对，正如您所说，这将具有O(v*w)的时间复杂度，因为在测试时有v种选择第一个元素的方法和w种选择第二个元素的方法所有对。

正如@thestruggler 在他们的评论中指出的那样，可以应用排序和二进制搜索来创建一个更有效的算法。

假设我们按升序对B进行排序。 对于您提供的测试用例，我们将拥有：

A = [9, 14, 5, 8, 12, 2, 16]

B = [2, 3, 6, 9, 10]

p = 21 and q = 24

现在，请注意，对于 a 中的每个元素，我们可以计算B中元素的范围，当添加到该元素时， p和q之间的总和。 我们实际上可以通过使用所谓的Binary Search在O(logW)时间内找到这个范围。 具体来说，如果我们希望将A中的第一个数字与B中的数字配对，我们将二进制搜索>= 12的第一个元素的索引，然后二进制搜索<= 15的最后一个元素的索引. B中可以与A中的元素配对的元素数量正好等于 1 加上两个索引之间的差。

总体而言，该算法的复杂度为O(WlogW + VlogW) （或O(VlogV + WlogV) ；如果您想要 go 超出您的程序可以决定对较大的数组进行排序以节省测试时间）。 这是因为对具有N个元素的数组进行排序需要O(NlogN)时间，并且因为对具有N个元素的排序数组的每次二分搜索都需要O(logN) 。

Answer 2

这也可以通过以下方式解决，

首先对 arrays 进行排序，
[9, 14, 5, 8, 12, 2, 16] => [2, 5, 8, 9, 12, 14, 16]
[6, 2, 9, 3, 10] => [2, 3, 6, 9, 10]

现在迭代较小数组的所有元素并执行以下操作，

[ 2 ],
当前元素是2 ，用p减去它，假设它是num这意味着，
num = p - 2 = 21 - 2 = 19
然后其他数组中的所有数字，大于等于19的总和为21和2 。 但是其他数组中没有元素大于或等于19这意味着通过将2与其他数组的任何元素相加不能大于或等于p ，

下一个元素是3也不能满足要求，其他元素也可以，所以我们直接移到元素9来解释，

[ 9 ]
num = p - 9 = 21 - 9 = 12并且通过获得12的下限，我们将获得所有数字，那些与9的总和将大于或等于p (21)，如下所示，
[2, 5, 8, 9, 12, 14, 16 ],
这些数字之和9大于或等于p ，现在是时候找出它们中的可能如何产生小于或等于q的和，所以要做到这一点，我们必须做以下事情，
num = q - 9 = 24 - 9 = 15并且通过找到15的上限将给出所有数字和9应小于等于q如下突出显示，
[2, 5, 8, 9, 12, 14 , 16],

这样，您可以找到所有具有 sum, p >= sum <= q的组合，

#include <iostream>

#include <vector>
#include <algorithm>

std::size_t combinationCount(int p, int q, std::vector<int> arr1, std::vector<int> arr2){

    std::sort(arr1.begin(), arr1.end());
    std::sort(arr2.begin(), arr2.end());

    std::vector<int>::const_iterator it1 = arr1.cbegin();
    std::vector<int>::const_iterator endIt1 = arr1.cend();

    std::vector<int>::const_iterator it2 = arr2.cbegin();
    std::vector<int>::const_iterator endIt2 = arr2.cend();

    if(arr2.size() < arr1.size()){
        std::swap(it1, it2);
        std::swap(endIt1, endIt2);
    }

    std::size_t count = 0;

    for(; endIt1 != it1; ++it1){

        int num = p - *it1;

        std::vector<int>::const_iterator lowBoundOfPIt = std::lower_bound(it2, endIt2, num);

        if(endIt2 != lowBoundOfPIt){

            num = q - *it1;
            std::vector<int>::const_iterator upBoundOfQIt = std::upper_bound(it2, endIt2, num);

            count += (upBoundOfQIt - lowBoundOfPIt);
        }
    }

    return count;
}

int main(){

    std::cout<< "count = "<< combinationCount(21, 24, {9, 14, 5, 8, 12, 2, 16}, {6, 2, 9, 3, 10})<< '\n';
}

Output： 5