[英]What is the most effective way for float and double comparison?
比较两个double精度值或两个float值的最有效方法是什么？
简单地这样做是不正确的：
bool CompareDoubles1 (double A, double B)
{
return A == B;
}
但是像：
bool CompareDoubles2 (double A, double B)
{
diff = A - B;
return (diff < EPSILON) && (-diff < EPSILON);
}
好像是废物处理。
有谁知道更智能的浮动比较器？
使用任何其他建议时要非常小心。 这一切都取决于上下文。
我花了很长时间跟踪假定a==b if |ab|<epsilon的系统中的错误。 潜在的问题是：
算法中的隐含假设，如果a==b和b==c则a==c 。
对以英寸为单位的线和以密耳（0.001 英寸）为单位的线使用相同的 epsilon。 那是a==b但1000a!=1000b 。 （这就是AlmostEqual2sComplement要求epsilon 或max ULPS 的原因）。
对角的余弦和线的长度使用相同的 epsilon！
使用这样的比较函数对集合中的项目进行排序。 （在这种情况下，使用内置 C++ 运算符==进行双精度运算会产生正确的结果。）
就像我说的：这完全取决于上下文以及a和b的预期大小。
顺便说一句， std::numeric_limits<double>::epsilon()是“机器 epsilon”。 它是1.0和下一个可以用双精度表示的值之间的差。 我猜它可以在比较函数中使用，但前提是预期值小于 1。（这是对@cdv 的回答......）
此外，如果您基本上在doubles数中有int算术（这里我们在某些情况下使用双精度值来保存 int 值）您的算术将是正确的。 例如4.0/2.0将与1.0+1.0相同。 只要您不做导致分数（ 4.0/3.0 ）或不超出 int 大小的事情。
与 epsilon 值进行比较是大多数人所做的（即使在游戏编程中也是如此）。
你应该稍微改变你的实现：
bool AreSame(double a, double b)
{
return fabs(a - b) < EPSILON;
}
编辑：克里斯特在最近的一篇博文中添加了大量关于这个主题的重要信息。 享受。
比较浮点数取决于上下文。 由于即使更改操作顺序也会产生不同的结果，因此了解您希望数字有多“相等”很重要。
Bruce Dawson 的比较浮点数是查看浮点比较的一个很好的起点。
以下定义来自Knuth 的计算机编程艺术：
bool approximatelyEqual(float a, float b, float epsilon)
{
return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}
bool essentiallyEqual(float a, float b, float epsilon)
{
return fabs(a - b) <= ( (fabs(a) > fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}
bool definitelyGreaterThan(float a, float b, float epsilon)
{
return (a - b) > ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}
bool definitelyLessThan(float a, float b, float epsilon)
{
return (b - a) > ( (fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * epsilon);
}
当然，选择 epsilon 取决于上下文，并确定您希望数字有多相等。
比较浮点数的另一种方法是查看数字的 ULP（最后一个单位）。 虽然没有专门处理比较，但这篇文章每个计算机科学家都应该了解浮点数是了解浮点数如何工作以及陷阱是什么（包括 ULP 是什么）的一个很好的资源。
我发现Google C++ 测试框架包含一个很好的基于模板的AlmostEqual2sComplement 跨平台实现，它适用于双精度数和浮点数。 鉴于它是根据 BSD 许可证发布的，只要您保留许可证，在您自己的代码中使用它应该没有问题。 我从http://code.google.com/p/googletest/source/browse/trunk/include/gtest/internal/gtest-internal.h https://github.com/google/googletest/blob中提取了以下代码/master/googletest/include/gtest/internal/gtest-internal.h并在顶部添加了许可证。
请务必将#define GTEST_OS_WINDOWS 设置为某个值（或将其用于适合您的代码库的代码更改为适合您的代码库的代码——毕竟它是BSD 许可的）。
使用示例：
double left = // something
double right = // something
const FloatingPoint<double> lhs(left), rhs(right);
if (lhs.AlmostEquals(rhs)) {
//they're equal!
}
这是代码：
// Copyright 2005, Google Inc.
// All rights reserved.
//
// Redistribution and use in source and binary forms, with or without
// modification, are permitted provided that the following conditions are
// met:
//
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// * Redistributions in binary form must reproduce the above
// copyright notice, this list of conditions and the following disclaimer
// in the documentation and/or other materials provided with the
// distribution.
// * Neither the name of Google Inc. nor the names of its
// contributors may be used to endorse or promote products derived from
// this software without specific prior written permission.
//
// THIS SOFTWARE IS PROVIDED BY THE COPYRIGHT HOLDERS AND CONTRIBUTORS
// "AS IS" AND ANY EXPRESS OR IMPLIED WARRANTIES, INCLUDING, BUT NOT
// LIMITED TO, THE IMPLIED WARRANTIES OF MERCHANTABILITY AND FITNESS FOR
// A PARTICULAR PURPOSE ARE DISCLAIMED. IN NO EVENT SHALL THE COPYRIGHT
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// SPECIAL, EXEMPLARY, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES (INCLUDING, BUT NOT
// LIMITED TO, PROCUREMENT OF SUBSTITUTE GOODS OR SERVICES; LOSS OF USE,
// DATA, OR PROFITS; OR BUSINESS INTERRUPTION) HOWEVER CAUSED AND ON ANY
// THEORY OF LIABILITY, WHETHER IN CONTRACT, STRICT LIABILITY, OR TORT
// (INCLUDING NEGLIGENCE OR OTHERWISE) ARISING IN ANY WAY OUT OF THE USE
// OF THIS SOFTWARE, EVEN IF ADVISED OF THE POSSIBILITY OF SUCH DAMAGE.
//
// Authors: wan@google.com (Zhanyong Wan), eefacm@gmail.com (Sean Mcafee)
//
// The Google C++ Testing Framework (Google Test)
// This template class serves as a compile-time function from size to
// type. It maps a size in bytes to a primitive type with that
// size. e.g.
//
// TypeWithSize<4>::UInt
//
// is typedef-ed to be unsigned int (unsigned integer made up of 4
// bytes).
//
// Such functionality should belong to STL, but I cannot find it
// there.
//
// Google Test uses this class in the implementation of floating-point
// comparison.
//
// For now it only handles UInt (unsigned int) as that's all Google Test
// needs. Other types can be easily added in the future if need
// arises.
template <size_t size>
class TypeWithSize {
public:
// This prevents the user from using TypeWithSize<N> with incorrect
// values of N.
typedef void UInt;
};
// The specialization for size 4.
template <>
class TypeWithSize<4> {
public:
// unsigned int has size 4 in both gcc and MSVC.
//
// As base/basictypes.h doesn't compile on Windows, we cannot use
// uint32, uint64, and etc here.
typedef int Int;
typedef unsigned int UInt;
};
// The specialization for size 8.
template <>
class TypeWithSize<8> {
public:
#if GTEST_OS_WINDOWS
typedef __int64 Int;
typedef unsigned __int64 UInt;
#else
typedef long long Int; // NOLINT
typedef unsigned long long UInt; // NOLINT
#endif // GTEST_OS_WINDOWS
};
// This template class represents an IEEE floating-point number
// (either single-precision or double-precision, depending on the
// template parameters).
//
// The purpose of this class is to do more sophisticated number
// comparison. (Due to round-off error, etc, it's very unlikely that
// two floating-points will be equal exactly. Hence a naive
// comparison by the == operation often doesn't work.)
//
// Format of IEEE floating-point:
//
// The most-significant bit being the leftmost, an IEEE
// floating-point looks like
//
// sign_bit exponent_bits fraction_bits
//
// Here, sign_bit is a single bit that designates the sign of the
// number.
//
// For float, there are 8 exponent bits and 23 fraction bits.
//
// For double, there are 11 exponent bits and 52 fraction bits.
//
// More details can be found at
// http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating-point_standard.
//
// Template parameter:
//
// RawType: the raw floating-point type (either float or double)
template <typename RawType>
class FloatingPoint {
public:
// Defines the unsigned integer type that has the same size as the
// floating point number.
typedef typename TypeWithSize<sizeof(RawType)>::UInt Bits;
// Constants.
// # of bits in a number.
static const size_t kBitCount = 8*sizeof(RawType);
// # of fraction bits in a number.
static const size_t kFractionBitCount =
std::numeric_limits<RawType>::digits - 1;
// # of exponent bits in a number.
static const size_t kExponentBitCount = kBitCount - 1 - kFractionBitCount;
// The mask for the sign bit.
static const Bits kSignBitMask = static_cast<Bits>(1) << (kBitCount - 1);
// The mask for the fraction bits.
static const Bits kFractionBitMask =
~static_cast<Bits>(0) >> (kExponentBitCount + 1);
// The mask for the exponent bits.
static const Bits kExponentBitMask = ~(kSignBitMask | kFractionBitMask);
// How many ULP's (Units in the Last Place) we want to tolerate when
// comparing two numbers. The larger the value, the more error we
// allow. A 0 value means that two numbers must be exactly the same
// to be considered equal.
//
// The maximum error of a single floating-point operation is 0.5
// units in the last place. On Intel CPU's, all floating-point
// calculations are done with 80-bit precision, while double has 64
// bits. Therefore, 4 should be enough for ordinary use.
//
// See the following article for more details on ULP:
// http://www.cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm.
static const size_t kMaxUlps = 4;
// Constructs a FloatingPoint from a raw floating-point number.
//
// On an Intel CPU, passing a non-normalized NAN (Not a Number)
// around may change its bits, although the new value is guaranteed
// to be also a NAN. Therefore, don't expect this constructor to
// preserve the bits in x when x is a NAN.
explicit FloatingPoint(const RawType& x) { u_.value_ = x; }
// Static methods
// Reinterprets a bit pattern as a floating-point number.
//
// This function is needed to test the AlmostEquals() method.
static RawType ReinterpretBits(const Bits bits) {
FloatingPoint fp(0);
fp.u_.bits_ = bits;
return fp.u_.value_;
}
// Returns the floating-point number that represent positive infinity.
static RawType Infinity() {
return ReinterpretBits(kExponentBitMask);
}
// Non-static methods
// Returns the bits that represents this number.
const Bits &bits() const { return u_.bits_; }
// Returns the exponent bits of this number.
Bits exponent_bits() const { return kExponentBitMask & u_.bits_; }
// Returns the fraction bits of this number.
Bits fraction_bits() const { return kFractionBitMask & u_.bits_; }
// Returns the sign bit of this number.
Bits sign_bit() const { return kSignBitMask & u_.bits_; }
// Returns true iff this is NAN (not a number).
bool is_nan() const {
// It's a NAN if the exponent bits are all ones and the fraction
// bits are not entirely zeros.
return (exponent_bits() == kExponentBitMask) && (fraction_bits() != 0);
}
// Returns true iff this number is at most kMaxUlps ULP's away from
// rhs. In particular, this function:
//
// - returns false if either number is (or both are) NAN.
// - treats really large numbers as almost equal to infinity.
// - thinks +0.0 and -0.0 are 0 DLP's apart.
bool AlmostEquals(const FloatingPoint& rhs) const {
// The IEEE standard says that any comparison operation involving
// a NAN must return false.
if (is_nan() || rhs.is_nan()) return false;
return DistanceBetweenSignAndMagnitudeNumbers(u_.bits_, rhs.u_.bits_)
<= kMaxUlps;
}
private:
// The data type used to store the actual floating-point number.
union FloatingPointUnion {
RawType value_; // The raw floating-point number.
Bits bits_; // The bits that represent the number.
};
// Converts an integer from the sign-and-magnitude representation to
// the biased representation. More precisely, let N be 2 to the
// power of (kBitCount - 1), an integer x is represented by the
// unsigned number x + N.
//
// For instance,
//
// -N + 1 (the most negative number representable using
// sign-and-magnitude) is represented by 1;
// 0 is represented by N; and
// N - 1 (the biggest number representable using
// sign-and-magnitude) is represented by 2N - 1.
//
// Read http://en.wikipedia.org/wiki/Signed_number_representations
// for more details on signed number representations.
static Bits SignAndMagnitudeToBiased(const Bits &sam) {
if (kSignBitMask & sam) {
// sam represents a negative number.
return ~sam + 1;
} else {
// sam represents a positive number.
return kSignBitMask | sam;
}
}
// Given two numbers in the sign-and-magnitude representation,
// returns the distance between them as an unsigned number.
static Bits DistanceBetweenSignAndMagnitudeNumbers(const Bits &sam1,
const Bits &sam2) {
const Bits biased1 = SignAndMagnitudeToBiased(sam1);
const Bits biased2 = SignAndMagnitudeToBiased(sam2);
return (biased1 >= biased2) ? (biased1 - biased2) : (biased2 - biased1);
}
FloatingPointUnion u_;
};
编辑：这篇文章已有 4 年历史。 它可能仍然有效，并且代码很好，但有些人发现了改进。 最好直接从 Google 测试源代码中获取最新版本的AlmostEquals ，而不是我在这里粘贴的那个。
如需更深入的方法，请阅读比较浮点数。 这是该链接的代码片段：
// Usable AlmostEqual function
bool AlmostEqual2sComplement(float A, float B, int maxUlps)
{
// Make sure maxUlps is non-negative and small enough that the
// default NAN won't compare as equal to anything.
assert(maxUlps > 0 && maxUlps < 4 * 1024 * 1024);
int aInt = *(int*)&A;
// Make aInt lexicographically ordered as a twos-complement int
if (aInt < 0)
aInt = 0x80000000 - aInt;
// Make bInt lexicographically ordered as a twos-complement int
int bInt = *(int*)&B;
if (bInt < 0)
bInt = 0x80000000 - bInt;
int intDiff = abs(aInt - bInt);
if (intDiff <= maxUlps)
return true;
return false;
}
意识到这是一个老话题，但这篇文章是我在比较浮点数时发现的最直接的文章之一，如果你想探索更多，它也有更详细的参考资料，它的主站点涵盖了一系列完整的问题处理浮点数浮点指南：比较。
我们可以在Floating-point tolerances revisited中找到一篇更实用的文章，并指出存在绝对容差测试，这在 C++ 中归结为：
bool absoluteToleranceCompare(double x, double y)
{
return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon() ;
}
和相对公差测试：
bool relativeToleranceCompare(double x, double y)
{
double maxXY = std::max( std::fabs(x) , std::fabs(y) ) ;
return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon()*maxXY ;
}
文章指出，当x和y很大时，绝对测试失败，而当它们很小时，相对测试失败。 假设绝对容差和相对容差相同，则组合测试将如下所示：
bool combinedToleranceCompare(double x, double y)
{
double maxXYOne = std::max( { 1.0, std::fabs(x) , std::fabs(y) } ) ;
return std::fabs(x - y) <= std::numeric_limits<double>::epsilon()*maxXYOne ;
}
我最终花了相当长的时间在这个伟大的线程中浏览材料。 我怀疑每个人都想花这么多时间，所以我会强调我学到的东西和我实施的解决方案的总结。
快速总结
numeric_limits::epsilon() ，它与 float.h 中的 FLT_EPSILON 相同。 然而，这是有问题的，因为比较像 1.0 这样的值的 epsilon 与比较像 1E9 这样的值的 epsilon 是不同的。 FLT_EPSILON 是为 1.0 定义的。fabs(ab) <= epsilon但这不起作用，因为默认 epsilon 是为 1.0 定义的。 我们需要根据 a 和 b 来放大或缩小 epsilon。max(a,b)成比例，要么可以在 a 周围获得下一个可表示的数字，然后查看 b 是否落在该范围内。 前者称为“相对”方法，后者称为 ULP 方法。实用功能实现 (C++11)
//implements relative method - do not use for comparing with zero
//use this most of the time, tolerance needs to be meaningful in your context
template<typename TReal>
static bool isApproximatelyEqual(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
TReal diff = std::fabs(a - b);
if (diff <= tolerance)
return true;
if (diff < std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
return true;
return false;
}
//supply tolerance that is meaningful in your context
//for example, default tolerance may not work if you are comparing double with float
template<typename TReal>
static bool isApproximatelyZero(TReal a, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
if (std::fabs(a) <= tolerance)
return true;
return false;
}
//use this when you want to be on safe side
//for example, don't start rover unless signal is above 1
template<typename TReal>
static bool isDefinitelyLessThan(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
TReal diff = a - b;
if (diff < tolerance)
return true;
if (diff < std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
return true;
return false;
}
template<typename TReal>
static bool isDefinitelyGreaterThan(TReal a, TReal b, TReal tolerance = std::numeric_limits<TReal>::epsilon())
{
TReal diff = a - b;
if (diff > tolerance)
return true;
if (diff > std::fmax(std::fabs(a), std::fabs(b)) * tolerance)
return true;
return false;
}
//implements ULP method
//use this when you are only concerned about floating point precision issue
//for example, if you want to see if a is 1.0 by checking if its within
//10 closest representable floating point numbers around 1.0.
template<typename TReal>
static bool isWithinPrecisionInterval(TReal a, TReal b, unsigned int interval_size = 1)
{
TReal min_a = a - (a - std::nextafter(a, std::numeric_limits<TReal>::lowest())) * interval_size;
TReal max_a = a + (std::nextafter(a, std::numeric_limits<TReal>::max()) - a) * interval_size;
return min_a <= b && max_a >= b;
}
在 C++ 中获取 epsilon 的可移植方式是
#include <limits>
std::numeric_limits<double>::epsilon()
那么比较函数就变成了
#include <cmath>
#include <limits>
bool AreSame(double a, double b) {
return std::fabs(a - b) < std::numeric_limits<double>::epsilon();
}
你写的代码有问题：
return (diff < EPSILON) && (-diff > EPSILON);
正确的代码是：
return (diff < EPSILON) && (diff > -EPSILON);
（......是的，这是不同的）
我想知道在某些情况下晶圆厂是否不会让你失去懒惰的评估。 我会说这取决于编译器。 您可能想尝试两者。 如果它们平均相等，请使用 fabs 实施。
如果您有一些关于两个浮点数中的哪一个更可能比另一个更大的信息，您可以按照比较的顺序进行操作，以更好地利用惰性评估。
最后，通过内联这个函数，你可能会得到更好的结果。 虽然不太可能改善...
编辑：OJ，感谢您更正您的代码。 我相应地删除了我的评论
`return fabs(a - b) < EPSILON;
这很好，如果：
但否则它会给你带来麻烦。 双精度数字的分辨率约为小数点后 16 位。 如果您要比较的两个数字的幅度大于 EPSILON*1.0E16，那么您不妨说：
return a==b;
我将研究另一种方法，假设您需要担心第一个问题并假设第二个问题对您的应用程序来说很好。 解决方案类似于：
#define VERYSMALL (1.0E-150)
#define EPSILON (1.0E-8)
bool AreSame(double a, double b)
{
double absDiff = fabs(a - b);
if (absDiff < VERYSMALL)
{
return true;
}
double maxAbs = max(fabs(a) - fabs(b));
return (absDiff/maxAbs) < EPSILON;
}
这在计算上是昂贵的，但有时是需要的。 这是我们在我公司必须做的，因为我们处理的是一个工程库，输入可能会有几十个数量级的变化。
无论如何，重点是这一点（并且几乎适用于所有编程问题）：评估您的需求，然后提出解决方案来满足您的需求——不要假设简单的答案就能满足您的需求。 如果在您的评估之后您发现fabs(ab) < EPSILON就足够了，那么完美——使用它！ 但也要注意它的缺点和其他可能的解决方案。
正如其他人指出的那样，对于远离 epsilon 值的值，使用固定指数 epsilon（例如 0.0000001）将毫无用处。 例如，如果您的两个值是 10000.000977 和 10000，那么这两个数字之间没有32 位浮点值 - 10000 和 10000.000977 在不逐位相同的情况下尽可能接近。 在这里，小于 0.0009 的 epsilon 是没有意义的； 您不妨使用直接相等运算符。
同样，当这两个值的大小接近 epsilon 时，相对误差会增长到 100%。
因此，尝试将诸如 0.00001 之类的定点数与浮点值（其中指数是任意的）混合是毫无意义的。 只有当您可以确保操作数值位于一个狭窄的域内（即接近某个特定指数）并且您为该特定测试正确选择了一个 epsilon 值时，这才会起作用。 如果你从空中拉出一个数字（“嘿！0.00001 很小，所以那一定很好！”），你注定会出现数字错误。 我花了很多时间调试糟糕的数字代码，其中一些糟糕的 schmuck 会在随机 epsilon 值中折腾以使另一个测试用例工作。
如果您进行任何类型的数值编程并认为您需要使用定点 epsilon，请阅读 BRUCE 关于比较浮点数的文章。
这是使用std::numeric_limits::epsilon()不是答案的证据——它对于大于一的值会失败：
我上面评论的证明：
#include <stdio.h>
#include <limits>
double ItoD (__int64 x) {
// Return double from 64-bit hexadecimal representation.
return *(reinterpret_cast<double*>(&x));
}
void test (__int64 ai, __int64 bi) {
double a = ItoD(ai), b = ItoD(bi);
bool close = std::fabs(a-b) < std::numeric_limits<double>::epsilon();
printf ("%.16f and %.16f %s close.\n", a, b, close ? "are " : "are not");
}
int main()
{
test (0x3fe0000000000000L,
0x3fe0000000000001L);
test (0x3ff0000000000000L,
0x3ff0000000000001L);
}
运行产生以下输出：
0.5000000000000000 and 0.5000000000000001 are close.
1.0000000000000000 and 1.0000000000000002 are not close.
请注意，在第二种情况下（一且仅大于一），两个输入值尽可能接近，但仍比较不接近。 因此，对于大于 1.0 的值，您不妨只使用相等测试。 比较浮点值时，固定的 epsilon 不会为您节省时间。
Qt实现了两个功能，或许你可以借鉴一下：
static inline bool qFuzzyCompare(double p1, double p2)
{
return (qAbs(p1 - p2) <= 0.000000000001 * qMin(qAbs(p1), qAbs(p2)));
}
static inline bool qFuzzyCompare(float p1, float p2)
{
return (qAbs(p1 - p2) <= 0.00001f * qMin(qAbs(p1), qAbs(p2)));
}
您可能需要以下功能，因为
请注意，比较 p1 或 p2 为 0.0 的值将不起作用，比较其中一个值为 NaN 或无穷大的值也不起作用。 如果其中一个值始终为 0.0，请改用 qFuzzyIsNull。 如果其中一个值可能为 0.0，则一种解决方案是将两个值都加 1.0。
static inline bool qFuzzyIsNull(double d)
{
return qAbs(d) <= 0.000000000001;
}
static inline bool qFuzzyIsNull(float f)
{
return qAbs(f) <= 0.00001f;
}
不幸的是，即使您的“浪费”代码也不正确。 EPSILON 是可以添加到1.0并更改其值的最小值。 值1.0非常重要——添加到 EPSILON 时较大的数字不会改变。 现在，您可以将此值缩放到您要比较的数字，以判断它们是否不同。 比较两个双精度的正确表达式是：
if (fabs(a - b) <= DBL_EPSILON * fmax(fabs(a), fabs(b)))
{
// ...
}
这是最低限度的。 不过，一般来说，您希望在计算中考虑噪声并忽略一些最低有效位，因此更现实的比较如下所示：
if (fabs(a - b) <= 16 * DBL_EPSILON * fmax(fabs(a), fabs(b)))
{
// ...
}
如果比较性能对您非常重要并且您知道值的范围，那么您应该改用定点数。
浮点数的通用比较通常没有意义。 如何比较实际上取决于手头的问题。 在许多问题中，数字被充分离散化以允许在给定的容差范围内进行比较。 不幸的是，同样有很多问题，这种技巧并没有真正奏效。 例如，当您的观察非常接近障碍时，请考虑使用相关数字的 Heaviside（步进）函数（想到数字股票期权）。 执行基于容差的比较不会有多大好处，因为它会有效地将问题从原来的障碍转移到两个新的障碍。 同样，此类问题没有通用解决方案，特定解决方案可能需要更改数值方法以实现稳定性。
您必须对浮点比较进行此处理，因为浮点数不能像整数类型那样完美地比较。 以下是各种比较运算符的函数。
== ) 我也更喜欢减法技术，而不是依赖fabs()或abs() ，但我必须在从 64 位 PC 到 ATMega328 微控制器 (Arduino) 的各种架构上快速分析它，才能真正看到它是否能起到很大的作用性能差异。
所以，让我们忘记所有这些绝对值的东西，只做一些减法和比较！
/// @brief See if two floating point numbers are approximately equal.
/// @param[in] a number 1
/// @param[in] b number 2
/// @param[in] epsilon A small value such that if the difference between the two numbers is
/// smaller than this they can safely be considered to be equal.
/// @return true if the two numbers are approximately equal, and false otherwise
bool is_float_eq(float a, float b, float epsilon) {
return ((a - b) < epsilon) && ((b - a) < epsilon);
}
bool is_double_eq(double a, double b, double epsilon) {
return ((a - b) < epsilon) && ((b - a) < epsilon);
}
示例用法：
constexpr float EPSILON = 0.0001; // 1e-4
is_float_eq(1.0001, 0.99998, EPSILON);
我不完全确定，但在我看来，对基于 epsilon 的方法的一些批评，如下面这个高度赞成的答案的评论中所述，可以通过使用根据浮点缩放的变量 epsilon 来解决正在比较的值，如下所示：
float a = 1.0001;
float b = 0.99998;
float epsilon = std::max(std::fabs(a), std::fabs(b)) * 1e-4;
is_float_eq(a, b, epsilon);
这样，epsilon 值随浮点值缩放，因此永远不会太小以至于变得微不足道。
为了完整起见，让我们添加其余部分：
> ) 和小于 ( < )：/// @brief See if floating point number `a` is > `b`
/// @param[in] a number 1
/// @param[in] b number 2
/// @param[in] epsilon a small value such that if `a` is > `b` by this amount, `a` is considered
/// to be definitively > `b`
/// @return true if `a` is definitively > `b`, and false otherwise
bool is_float_gt(float a, float b, float epsilon) {
return a > b + epsilon;
}
bool is_double_gt(double a, double b, double epsilon) {
return a > b + epsilon;
}
/// @brief See if floating point number `a` is < `b`
/// @param[in] a number 1
/// @param[in] b number 2
/// @param[in] epsilon a small value such that if `a` is < `b` by this amount, `a` is considered
/// to be definitively < `b`
/// @return true if `a` is definitively < `b`, and false otherwise
bool is_float_lt(float a, float b, float epsilon) {
return a < b - epsilon;
}
bool is_double_lt(double a, double b, double epsilon) {
return a < b - epsilon;
}
>= ) 且小于或等于 ( <= )/// @brief Returns true if `a` is definitively >= `b`, and false otherwise
bool is_float_ge(float a, float b, float epsilon) {
return a > b - epsilon;
}
bool is_double_ge(double a, double b, double epsilon) {
return a > b - epsilon;
}
/// @brief Returns true if `a` is definitively <= `b`, and false otherwise
bool is_float_le(float a, float b, float epsilon) {
return a < b + epsilon;
}
bool is_double_le(double a, double b, double epsilon) {
return a < b + epsilon;
}
epsilon的一个好的默认值是std::numeric_limits<T>::epsilon() ，其计算结果为0或FLT_EPSILON 、 DBL_EPSILON或LDBL_EPSILON 。 请参阅此处： https ://en.cppreference.com/w/cpp/types/numeric_limits/epsilon。 您还可以看到FLT_EPSILON 、 DBL_EPSILON和LDBL_EPSILON的float.h标头。
float 、 double和long double ，并通过模板内的static_assert()对这些类型进行类型检查。epsilon值是一个好主意，以确保它适用于非常大和非常小a和b值。 本文推荐并说明： http ://realtimecollisiondetection.net/blog/?p=89。 因此，您应该通过等于max(1.0, abs(a), abs(b))的缩放值来缩放 epsilon，正如那篇文章所解释的那样。 否则，随着a和/或b幅度的增加，epsilon 最终会相对于那些值变得非常小，以至于它会丢失在浮点误差中。 因此，我们将其缩放为像它们一样在数量级上变得更大。 但是，使用1.0作为 epsilon 的最小允许比例因子还可以确保对于非常小的a和b值，epsilon 本身不会被缩放得太小，以至于它也会丢失在浮点错误中。 因此，我们将最小比例因子限制为1.0 。float_comparison的命名空间中，那么您可以像这样访问is_eq()函数，例如： float_comparison::is_eq(1.0, 1.5); . namespace float_comparison { /// Scale the epsilon value to become large for large-magnitude a or b, /// but no smaller than 1.0, per the explanation above, to ensure that /// epsilon doesn't ever fall out in floating point error as a and/or b /// increase in magnitude. template<typename T> static constexpr T scale_epsilon(T a, T b, T epsilon = std::numeric_limits<T>::epsilon()) noexcept { static_assert(std::is_floating_point_v<T>, "Floating point comparisons " "require type float, double, or long double."); T scaling_factor; // Special case for when a or b is infinity if (std::isinf(a) || std::isinf(b)) { scaling_factor = 0; } else { scaling_factor = std::max({(T)1.0, std::abs(a), std::abs(b)}); } T epsilon_scaled = scaling_factor * std::abs(epsilon); return epsilon_scaled; } // Compare two values /// Equal: returns true if a is approximately == b, and false otherwise template<typename T> static constexpr bool is_eq(T a, T b, T epsilon = std::numeric_limits<T>::epsilon()) noexcept { static_assert(std::is_floating_point_v<T>, "Floating point comparisons " "require type float, double, or long double."); // test `a == b` first to see if both a and b are either infinity // or -infinity return a == b || std::abs(a - b) <= scale_epsilon(a, b, epsilon); } /* etc. etc.: is_eq() is_ne() is_lt() is_le() is_gt() is_ge() */ // Compare against zero /// Equal: returns true if a is approximately == 0, and false otherwise template<typename T> static constexpr bool is_eq_zero(T a, T epsilon = std::numeric_limits<T>::epsilon()) noexcept { static_assert(std::is_floating_point_v<T>, "Floating point comparisons " "require type float, double, or long double."); return is_eq(a, (T)0.0, epsilon); } /* etc. etc.: is_eq_zero() is_ne_zero() is_lt_zero() is_le_zero() is_gt_zero() is_ge_zero() */ } // namespace float_comparisona和/或b值也是如此！我的课程基于以前发布的答案。 与谷歌的代码非常相似，但我使用了一个将所有 NaN 值推到 0xFF000000 以上的偏差。 这样可以更快地检查 NaN。
此代码旨在演示该概念，而不是通用解决方案。 Google 的代码已经展示了如何计算所有平台特定的值，我不想重复所有这些。 我已经对此代码进行了有限的测试。
typedef unsigned int U32;
// Float Memory Bias (unsigned)
// ----- ------ ---------------
// NaN 0xFFFFFFFF 0xFF800001
// NaN 0xFF800001 0xFFFFFFFF
// -Infinity 0xFF800000 0x00000000 ---
// -3.40282e+038 0xFF7FFFFF 0x00000001 |
// -1.40130e-045 0x80000001 0x7F7FFFFF |
// -0.0 0x80000000 0x7F800000 |--- Valid <= 0xFF000000.
// 0.0 0x00000000 0x7F800000 | NaN > 0xFF000000
// 1.40130e-045 0x00000001 0x7F800001 |
// 3.40282e+038 0x7F7FFFFF 0xFEFFFFFF |
// Infinity 0x7F800000 0xFF000000 ---
// NaN 0x7F800001 0xFF000001
// NaN 0x7FFFFFFF 0xFF7FFFFF
//
// Either value of NaN returns false.
// -Infinity and +Infinity are not "close".
// -0 and +0 are equal.
//
class CompareFloat{
public:
union{
float m_f32;
U32 m_u32;
};
static bool CompareFloat::IsClose( float A, float B, U32 unitsDelta = 4 )
{
U32 a = CompareFloat::GetBiased( A );
U32 b = CompareFloat::GetBiased( B );
if ( (a > 0xFF000000) || (b > 0xFF000000) )
{
return( false );
}
return( (static_cast<U32>(abs( a - b ))) < unitsDelta );
}
protected:
static U32 CompareFloat::GetBiased( float f )
{
U32 r = ((CompareFloat*)&f)->m_u32;
if ( r & 0x80000000 )
{
return( ~r - 0x007FFFFF );
}
return( r + 0x7F800000 );
}
};
我会非常警惕任何涉及浮点减法的答案（例如，fabs(ab) < epsilon）。 首先，浮点数在更大的幅度和足够高的幅度（间距大于ε）处变得更加稀疏，您不妨只做a == b。 其次，减去两个非常接近的浮点数（因为这些往往是，因为您正在寻找接近相等）正是您获得灾难性取消的方式。
虽然不可移植，但我认为 grom 的答案在避免这些问题方面做得最好。
在数值软件中实际上存在您想要检查两个浮点数是否完全相等的情况。 我在一个类似的问题上发布了这个
https://stackoverflow.com/a/10973098/1447411
所以你不能说“CompareDoubles1”通常是错误的。
从数量规模来看：
如果epsilon是某种物理意义上的量值（即相对值）的一小部分，并且A和B类型在同一意义上是可比较的，那么我认为以下是完全正确的：
#include <limits>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cassert>
template< typename A, typename B >
inline
bool close_enough(A const & a, B const & b,
typename std::common_type< A, B >::type const & epsilon)
{
using std::isless;
assert(isless(0, epsilon)); // epsilon is a part of the whole quantity
assert(isless(epsilon, 1));
using std::abs;
auto const delta = abs(a - b);
auto const x = abs(a);
auto const y = abs(b);
// comparable generally and |a - b| < eps * (|a| + |b|) / 2
return isless(epsilon * y, x) && isless(epsilon * x, y) && isless((delta + delta) / (x + y), epsilon);
}
int main()
{
std::cout << std::boolalpha << close_enough(0.9, 1.0, 0.1) << std::endl;
std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0, 1.1, 0.1) << std::endl;
std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.1, 1.2, 0.01) << std::endl;
std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0001, 1.0002, 0.01) << std::endl;
std::cout << std::boolalpha << close_enough(1.0, 0.01, 0.1) << std::endl;
return EXIT_SUCCESS;
}
以更通用的方式：
template <typename T>
bool compareNumber(const T& a, const T& b) {
return std::abs(a - b) < std::numeric_limits<T>::epsilon();
}
笔记：
正如@SirGuy 所指出的，这种方法是有缺陷的。 我把这个答案留在这里作为一个例子，不要效仿。
我使用这段代码：
bool AlmostEqual(double v1, double v2)
{
return (std::fabs(v1 - v2) < std::fabs(std::min(v1, v2)) * std::numeric_limits<double>::epsilon());
}
一些有答案的实验。
#ifndef FLOATING_POINT_MATH_H
#define FLOATING_POINT_MATH_H
#ifdef _MSC_VER
#pragma once
#endif
#include <type_traits>
#include <cmath>
/** Floating point math functions with custom tolerance
@param float, double, long double.
@return bool test result.
is_approximately_equal(a, b, tolerance)
is_essentialy_equal(a, b, tolerance)
is_approximately_zero(a, tolerance)
is_definitely_greater_than(a, b, tolerance)
is_definitely_less_than(a, b, tolerance)
is_within_tolerance(a, b, tolerance)
*/
namespace
{
template<typename T> constexpr T default_tolerance = std::numeric_limits<T>::epsilon();
template<typename T> using Test_floating_t = typename std::enable_if<std::is_floating_point<T>::value>::type;
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_approximately_equal(const T a, const T b, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return std::fabs(a - b) <= ((std::fabs(a) < std::fabs(b) ? std::fabs(b) : std::fabs(a)) * tolerance);
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_essentialy_equal(const T a, const T b, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return std::fabs(a - b) <= ((std::fabs(a) > std::fabs(b) ? std::fabs(b) : std::fabs(a)) * tolerance);
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_approximately_zero(const T a, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return std::fabs(a) <= tolerance;
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_definitely_greater_than(const T a, const T b, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return (a - b) > ((std::fabs(a) < std::fabs(b) ? std::fabs(b) : std::fabs(a)) * tolerance);
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_definitely_less_than(const T a, const T b, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return (b - a) > ((std::fabs(a) < std::fabs(b) ? std::fabs(b) : std::fabs(a)) * tolerance);
}
template<typename T, typename = Test_floating_t<T>> inline constexpr
bool is_within_tolerance(const T a, const T b, const T tolerance = default_tolerance<T>) noexcept
{
return std::fabs(a - b) <= tolerance;
}
#endif
//is_approximately_equal(0.101, 0.1, 0.01); // true
//is_essentialy_equal(0.1, 0.1, 0.01); // true
//is_essentialy_equal(0.101, 0.1, 0.01); // false
//is_essentialy_equal(0.101, 0.101, 0.01); // true
//is_approximately_equal(1, 1); // No instance matches arg...
发现另一个有趣的实现： https ://en.cppreference.com/w/cpp/types/numeric_limits/epsilon
#include <cmath>
#include <limits>
#include <iomanip>
#include <iostream>
#include <type_traits>
#include <algorithm>
template<class T>
typename std::enable_if<!std::numeric_limits<T>::is_integer, bool>::type
almost_equal(T x, T y, int ulp)
{
// the machine epsilon has to be scaled to the magnitude of the values used
// and multiplied by the desired precision in ULPs (units in the last place)
return std::fabs(x-y) <= std::numeric_limits<T>::epsilon() * std::fabs(x+y) * ulp
// unless the result is subnormal
|| std::fabs(x-y) < std::numeric_limits<T>::min();
}
int main()
{
double d1 = 0.2;
double d2 = 1 / std::sqrt(5) / std::sqrt(5);
std::cout << std::fixed << std::setprecision(20)
<< "d1=" << d1 << "\nd2=" << d2 << '\n';
if(d1 == d2)
std::cout << "d1 == d2\n";
else
std::cout << "d1 != d2\n";
if(almost_equal(d1, d2, 2))
std::cout << "d1 almost equals d2\n";
else
std::cout << "d1 does not almost equal d2\n";
}
我使用此代码。 与上述答案不同，这允许人们给出代码注释中解释的abs_relative_error 。
第一个版本比较复数，因此可以用复平面中相同长度的两个“矢量”之间的角度来解释错误（这提供了一点见解）。 然后从那里得出两个实数的正确公式。
https://github.com/CarloWood/ai-utils/blob/master/almost_equal.h
那么后者是
template<class T>
typename std::enable_if<std::is_floating_point<T>::value, bool>::type
almost_equal(T x, T y, T const abs_relative_error)
{
return 2 * std::abs(x - y) <= abs_relative_error * std::abs(x + y);
}
其中abs_relative_error基本上是（两倍）最接近文献中定义的绝对值：相对误差。 但这只是名称的选择。
我认为在复平面中最清楚地看到了它的真正含义。 如果 |x| = 1，并且 y 位于 x 周围，直径为abs_relative_error ，则认为两者相等。
我使用以下 function 进行浮点数比较：
bool approximatelyEqual(double a, double b)
{
return fabs(a - b) <= ((fabs(a) < fabs(b) ? fabs(b) : fabs(a)) * std::numeric_limits<double>::epsilon());
}
这取决于您希望比较的精确程度。 如果您想比较完全相同的数字，那么只需使用 ==。 （除非您实际上想要完全相同的数字，否则您几乎永远不想这样做。）在任何体面的平台上，您还可以执行以下操作：
diff= a - b; return fabs(diff)<EPSILON;
因为fabs往往很快。 相当快我的意思是它基本上是一个按位与，所以最好是快。
比较双精度和浮点数的整数技巧很好，但往往会使各种 CPU 管道更难以有效处理。 由于使用堆栈作为经常使用的值的临时存储区域，现在在某些有序架构上肯定不会更快。 （为那些关心的人加载命中商店。）
/// testing whether two doubles are almost equal. We consider two doubles
/// equal if the difference is within the range [0, epsilon).
///
/// epsilon: a positive number (supposed to be small)
///
/// if either x or y is 0, then we are comparing the absolute difference to
/// epsilon.
/// if both x and y are non-zero, then we are comparing the relative difference
/// to epsilon.
bool almost_equal(double x, double y, double epsilon)
{
double diff = x - y;
if (x != 0 && y != 0){
diff = diff/y;
}
if (diff < epsilon && -1.0*diff < epsilon){
return true;
}
return false;
}
我在我的小项目中使用了这个功能，它可以工作，但请注意以下几点：
双精度误差会给您带来惊喜。 假设 epsilon = 1.0e-6，那么根据上面的代码，1.0 和 1.000001 不应该被认为是相等的，但是在我的机器上，函数认为它们是相等的，这是因为 1.000001 不能精确地转换为二进制格式，它可能是 1.0000009xxx。 我用 1.0 和 1.0000011 测试它，这次我得到了预期的结果。
您不能将两个double与固定的EPSILON进行比较。 根据double的值， EPSILON会有所不同。
更好的双重比较是：
bool same(double a, double b)
{
return std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::lowest()) <= b
&& std::nextafter(a, std::numeric_limits<double>::max()) >= b;
}
我的方法可能不正确但很有用
将浮点数转换为字符串，然后进行字符串比较
bool IsFlaotEqual(float a, float b, int decimal)
{
TCHAR form[50] = _T("");
_stprintf(form, _T("%%.%df"), decimal);
TCHAR a1[30] = _T(""), a2[30] = _T("");
_stprintf(a1, form, a);
_stprintf(a2, form, b);
if( _tcscmp(a1, a2) == 0 )
return true;
return false;
}
运算符重载也可以
我是为 java 写的，但也许你觉得它很有用。 它使用 longs 而不是 doubles，但会处理 NaN、subnormals 等。
public static boolean equal(double a, double b) {
final long fm = 0xFFFFFFFFFFFFFL; // fraction mask
final long sm = 0x8000000000000000L; // sign mask
final long cm = 0x8000000000000L; // most significant decimal bit mask
long c = Double.doubleToLongBits(a), d = Double.doubleToLongBits(b);
int ea = (int) (c >> 52 & 2047), eb = (int) (d >> 52 & 2047);
if (ea == 2047 && (c & fm) != 0 || eb == 2047 && (d & fm) != 0) return false; // NaN
if (c == d) return true; // identical - fast check
if (ea == 0 && eb == 0) return true; // ±0 or subnormals
if ((c & sm) != (d & sm)) return false; // different signs
if (abs(ea - eb) > 1) return false; // b > 2*a or a > 2*b
d <<= 12; c <<= 12;
if (ea < eb) c = c >> 1 | sm;
else if (ea > eb) d = d >> 1 | sm;
c -= d;
return c < 65536 && c > -65536; // don't use abs(), because:
// There is a posibility c=0x8000000000000000 which cannot be converted to positive
}
public static boolean zero(double a) { return (Double.doubleToLongBits(a) >> 52 & 2047) < 3; }
请记住，经过多次浮点运算后，数字可能与我们预期的大不相同。 没有代码可以解决这个问题。
这是 lambda 的另一种解决方案：
#include <cmath>
#include <limits>
auto Compare = [](float a, float b, float epsilon = std::numeric_limits<float>::epsilon()){ return (std::fabs(a - b) <= epsilon); };
这个怎么样？
template<typename T>
bool FloatingPointEqual( T a, T b ) { return !(a < b) && !(b < a); }
我见过各种方法——但从未见过这种方法，所以我也很想听到任何评论！
在您检查的这个版本中，这些数字彼此之间的差异并不超过某些分数（例如，0.0001%）：
bool floatApproximatelyEquals(const float a, const float b) {
if (b == 0.) return a == 0.; // preventing division by zero
return abs(1. - a / b) < 1e-6;
}
请注意Sneftel关于浮动可能的分数限制的评论。
另请注意，它与绝对 epsilon 的方法不同-在这里您不必担心“数量级”-数字可能是1e100或1e-100 ，它们将始终进行一致比较，而您没有为每个案例更新 epsilon。
为什么不执行按位异或？ 如果它们的对应位相等，则两个浮点数相等。 我认为，在尾数之前放置指数位的决定是为了加快两个浮点数的比较。 我认为，这里的许多答案都缺少 epsilon 比较的重点。 Epsilon 值仅取决于比较精度的浮点数。 例如，在对浮点数进行一些算术运算后，您会得到两个数字：2.5642943554342 和 2.5642943554345。 它们不相等，但对于解决方案，只有 3 个十进制数字很重要，所以它们相等：2.564 和 2.564。 在这种情况下，您选择 epsilon 等于 0.001。 使用按位异或也可以进行 Epsilon 比较。 如果我错了，请纠正我。
在C中将浮点指针重铸为双指针的最有效方法是什么？
[英]What's the most efficient way to recast a float pointer as a double pointer in C?
使用Android NDK将C ++对象传递给Java的最有效方法是什么？
[英]What is the most effective way to pass a C++ Object to Java using Android NDK
有多少条线段将在一个平面内与水平线相交？ 找到这个的最有效方法是什么
[英]how many line segments will intersect in a plane will intersect with a horizontal line ? what will be the most effective way to find this
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