binconf 在低 n 时返回错误的置信度值？

Question

考虑以下

如果我使用比例 520/1000，我会得到：

p <- 41/45
p + c(-qnorm(0.975),qnorm(0.975))*sqrt((1/45)*p*(1-p))

0.4890351 0.5509649

binconf(x = 41, n = 45)

0.4890177 0.5508292

大致相同，一切都很好。

但是当我使用不同的比例 41/45 时，我得到：

p <- 41/45
p + c(-qnorm(0.975),qnorm(0.975))*sqrt((1/45)*p*(1-p))

0.8279632 0.9942590

和

binconf(x = 41, n = 45)

0.7926642 0.9648889

为什么会有很大的差异——41/45 的比例是正确的？