如何找到贝塞尔曲线的距离中点？

Question

我在 Unity 引擎中制作游戏，其中汽车沿着贝塞尔曲线移动，按贝塞尔曲线长度的百分比移动。

在这张图片上，您可以看到带有 8 个停止点（黄色球体）的曲线。 每个停靠点之间的距离为总距离的 20%。

在上图中，一切正常，但是当我移动手柄时，会出现手柄长度不同的问题。

如上图所示，停止点之间的距离不相等。 这是因为我的算法，因为我通过将段长度乘以插值（t）来找到段点。 简而言之，问题是：如果 t=0.5 它不在该段的 50% 中。 正如您在第一张图像上看到的，停止点位于半段，但在第二张图像中它不在半段。 这个问题将得到解决，如果有一些数学公式，如何找到距离中点。

如上图所示，有两个中点。 通过将 t 设置为 0.5 可以找到 T 参数中点（这是我现在正在做的），但它不是距离的一半。

如何找到距离中点（对于三次贝塞尔曲线，手柄的距离不同）？

Answer 1

您已经正确观察到参数值t =0.5 通常不是长度中间的点。 这是一个好的开始，但困难在于下面的数学。

用x(t)和y(t)表示参数曲线的分量， t =0（开始）和所选参数值t = u之间的曲线长度等于

您要做的是找到u使得l(u)是l(1)的一半。 这有时是可能的，但通常是困难的或不可能的。 所以，你可以做什么？

一种可能性是近似您想要的点。 一种直接的方法是通过分段线性曲线来近似贝塞尔曲线（只需选择许多参数值 0 = t _0 < t _1 <... < t _n = 1 并通过线段连接这些参数中的值）。 现在很容易计算整个长度（毕达哥拉斯定理是你的朋友）以及中点（沿着分段线性曲线走规定长度）。 您采样的点越多，您将越精确并且您的计算将花费更多时间，因此需要权衡。 当然，您可以使用更复杂的数值方案进行近似，但这超出了答案的 scope。

第二种可能性是将自己限制在贝塞尔曲线的一个子类中，它可以让你做你想做的事。 这些被称为毕达哥拉斯-Hodograph （简称PH）曲线。 它们具有非常有用的性质，即存在多项式sigma( t )，使得

这意味着您可以计算上面的积分并搜索u的正确值。 然而，一切都是有代价的，这里的代价是你将有更少的自由，在哪里放置控制点（对于我作为数学家来说，三次贝塞尔曲线有四个控制点；计算机图形学的人经常谈到“手柄”所以你可能不得不翻译成你的术语）。 对于立方体案例，您可以在 Vito Vitrih 的本次研讨会演讲的幻灯片 15 中找到条件。

表示：

• 控制点，
• 
• ;

那么贝塞尔曲线是PH曲线当且仅当 .

您可以自行决定是否可以在您的情况下强制执行此条件，或者它是否对您的应用程序过于严格。