“相对比较”和“绝对比较”是什么意思？

Question

引用这篇文章：

实数

二分搜索也可用于域为实数集的单调函数。 在实数上实现二进制搜索通常比在整数上更容易，因为您不需要注意如何移动边界：

 binary_search(lo, hi, p): while we choose not to terminate: mid = lo + (hi - lo) / 2 if p(mid) == true: hi = mid else: lo = mid return lo

由于实数集是密集的，应该清楚我们通常无法找到准确的目标值。 但是，我们可以很快找到一些 x 使得 f(x) 在 no 和 yes 之间的边界的某个容差范围内。 我们有两种方法来决定何时终止：当搜索空间变得小于某个预定界限（例如 10-12）时终止或进行固定次数的迭代。 在 Topcoder 上，您最好的选择是只使用几百次迭代，这将为您提供尽可能好的精度，而无需过多思考。 100 次迭代会将搜索空间减少到其初始大小的大约 10-30，这对于大多数（如果不是全部）问题应该足够了。

如果您需要尽可能少地进行迭代，您可以在间隔变小时终止，但尝试对边界进行相对比较，而不仅仅是绝对比较。 这样做的原因是双精度永远不能给你超过 15 位十进制数字的精度，所以如果搜索空间包含大数字（比如数十亿的数量级），你永远不会得到小于 10-7 的绝对差。

最后一段建议进行相对比较，而不仅仅是绝对比较。 这意味着什么？

Answer 1

最后一段解释了使用绝对差异的问题：

如果您需要尽可能少地进行迭代，您可以在间隔变小时终止，但尝试对边界进行相对比较，而不仅仅是绝对比较。 这样做的原因是双精度永远不能给你超过 15 位十进制数字的精度，所以如果搜索空间包含大数字（比如数十亿的数量级），你永远不会得到小于 10-7 的绝对差。

a和b之间的绝对差是

auto diff = std::abs(a - b);
if (diff < 0.00000001) break;

由于浮点数只有有限数量的有效数字，因此绝对值很大，您可能永远不会看到像1e-7这样小的绝对差异。

相对差异不取决于比较值的大小：

auto rel_diff = std::abs( a - b) / a; 
if (rel_diff < 0.00000001) break;

换句话说，通常以下计算结果为真：

double very_big_number = 100000000.0;
double very_small_number = 0.000000001;
auto ups = (very_big_number + very_small_number) == very_big_number;

您可以从两个大浮点数中有意义地期望的最小差异在于它们的最后一个有效数字，其幅度可能比例如1e-7大得多。