获取三维三次样条轨迹Scipy

Question

我正在尝试使用三维三次样条曲线来近似给定路线（坐标）。 示例数据：

import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import axes3d
import numpy as np

%matplotlib inline

x = np.array([1, 2, 2.3, 3, 4, 5, 5.5, 8, 9, 9.5])
y = np.arange(0, 10)
z = np.sin(x) * np.cos(y^2) + x
fig = plt.figure(figsize=(10,6))
ax = axes3d.Axes3D(fig)
ax.stem(x, y, z)

我现在使用来自 scipy 的RBF 插值器来近似数据点。 这是正确的方法吗？

from scipy.interpolate import RBFInterpolator
coord_data = np.stack([x, y], -1)
spline = RBFInterpolator(coord_data, z, kernel = 'cubic')

我现在如何获得生成的样条曲线（它所遵循的点）？ 我如何访问它的衍生产品？

Answer 1

您正在尝试逼近一条路线，即 3D 中的曲线，而不是曲面。 您尝试的方法会产生表面，因此不适合您的情况。

3D 曲线的合适表示形式为元组(x(u), y(u), z(u))的参数形式，其中u是某个参数，每个坐标是u的 function。 曲线拟合问题简化为分别拟合(ui, xi) 、 (ui, yi)和(ui, zi)的三个 2D 问题（另请参见我的答案here ）。

因此，为了执行曲线拟合，您需要为每个输入点提供参数化ui 。 样条拟合中常见的参数化是弦长参数化。 该参数化由有序点之间的距离的累积长度定义（ u0=0, u1=|p1-p0|, u2 = u1+|p2-p1| ...等）。

以下代码使用弦长参数化实现数据的样条插值。

from scipy import interpolate

xyz = np.vstack([x, y, z]).T
u = np.cumsum(np.r_[[0], np.linalg.norm(np.diff(xyz, axis=0), axis=1)])
# u is the chord-legth parameterization for each xyz point

sx = interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(u, x)  # x(u) spline
sy = interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(u, y)  # y(u) spline
sz = interpolate.InterpolatedUnivariateSpline(u, z)  # z(u) spline

下面的代码对生成的样条曲线进行采样，并在数据（黑色折线）上绘制结果（蓝色）。 结果如下所示：

uu = np.linspace(u[0], u[-1], 100)
xx = sx(uu)
yy = sy(uu)
zz = sz(uu)
plt.plot(xx, yy, zz, "b")

您还可以使用建议的RBF函数进行单变量插值。 以下代码是如何执行此操作的示例：

from scipy.interpolate import Rbf

rbfi_x = Rbf(u, x, function='cubic')
rbfi_y = Rbf(u, y, function='cubic')
rbfi_z = Rbf(u, z, function='cubic')

以与上面的样条样本类似的方式对结果函数进行采样，并将结果绘制在上图中，我们得到下面的 plot。 可以看出，样条和 RBF 插值相似但不相同（例如在端点附近）。