计算二维图中偶数/奇数的总数

Question

• 我有一个尺寸为M x N的图表。
• 我也有两点 [ X , Y ]
• 和范围r

我们只能水平或垂直移动 1 个空格（我们总是必须移动）。 我们的目标是找到我们可以达到的可能性总数。

在这个例子中，我们有M=5 ， N=4 ， [ X=2 ， Y=1 ] 和r=3 。

我们可以看到， r是一个奇数，所以我们正在寻找奇数。 结果显然是（将所有奇数相加后） 12

我首先尝试了蛮力，但它太慢了（ O(n^2) ）。

所以我在数学上尝试了更多。 我尝试了冯诺依曼邻域算法，但我完全被困在那里。 最后，我尝试通过计算对应于x和y的行中的垂直和水平计数（ x中的计数为3 ， y中的计数为3 ）。

我的下一步是找到拐角并使用出租车几何计算到达 go 需要多少r 。

然后我将图像分成 4 个部分（象限）。 当从[X, Y]到给定象限角的路径小于r时，只需将正方形数除以 2。当路径较大时，我创建r_ ，由路径到角的差异决定与r → r_ = taxicab - r 。 然后只需从矩形的内容中减去r_并再次除以 2。

正如我们所看到的，结果也是正确的， 3 + 3 + 1 + 1 + 2 + 2 = 12 。

但

在这里我问：

1. 我们仍在处理偶数和奇数，因此在将奇数除以 2 后经常会出现舍入错误。（例如，对于M=2, N=4, X=0, Y=0, r=4 - 参见图片。有 8 个字段 - 3 个空白。但 5/2 是 2.5 => 为什么取 3 而不是 2？我尝试添加不同的规则，但它因示例而异。）

2. 对于这样的计算，是否有更有效的算法，同样快速且不易出错？

Answer 1

我们可以计算位于我们网格之外的方格，然后从范围内的奇数/偶数方格总数中减去这些方格（不管边界内/外）。

这实际上比我们想象的要容易。 首先，我们希望能够计算范围内奇数/偶数方格的数量，而不考虑边界。 使用直到N - S = N * (N + 1) / 2的自然数之和的公式，我们可以为此推导出几个简单的方程：

def count_all(size):
    if size % 2:  # odd size
        return (size + 1) ** 2
    return size * (size + 2) + 1

尝试自己推导这些可能是一个很好的练习，或者至少用一些例子来验证它们实际上是正确的。

继续前进——我们可以通过“缩小”我们的半径来消除从上方超出边界的点。 这是非常直观的，所以让我给你一个图表。 仅想象范围是某个固定数字的点，例如range=13 ，而我们的中心位于右下象限，例如(17, 5) 。 如果我们 plot 这些点，用线连接它们，它会创建一个菱形：

 |    /\
 |   /  \
 |  /    \
-+-----------
 | /      \
 | \      /
 |  \    /
 |   \  /
 |    \/

如果我们只关心计算轴上方的点，我们可以等效地只计算相应向上移动的较小钻石的轴上方的点。 例子：

 |    /\
 |   /  \
 |  /    \
-+-----------
 |  \    /
 |   \  /
 |    \/

现在，使用起来非常方便，因为钻石的一半在上面，一半在下面。 尽管我们做了一半要小心——有些点落在轴上，两者都需要同等地考虑在界内或界外，但我们可以很容易地解释这一点。

使用这种洞察力，我们可以通过缩小范围和移动中心点来计算超出轴范围的点数，并计算这个新 plot 一半上的点数。 计数代码：

def count_side(size):
    if size % 2:
        return (size + 1) // 2
    return size // 2 + 1

def count_half(size):
    if size < 0:
        return 0
    return count_all(size) // 2 + count_side(size)

请注意，我们必须注意偶数范围，因为我们需要只计算中心（范围 0）一次。

我们还没有完成——如果我们只是减去超出边界的点数，然后独立地向左移动，我们就会多算要删除的点数，因为我们计算的是左上角的点象限两次。 为了解决这个问题，我们使用相同的技巧。 我们将首先在 x 轴上缩小 + 移动钻石，然后我们将在这个新钻石上再次执行此操作，但在 y 轴上。 请注意，这颗新钻石最终将以原点为中心。 我建议您在这一点上暂停片刻以想象这一点并说服自己这很好，实际上会为我们提供任何特定范围的新菱形，包含 4 倍落在左上角的点数象限。

使用它，我们计算左上象限中的点数，将它们重新添加到总数中，并获得我们的总总数。 整个解决方案如下：

def count_all(size):
    if size % 2:
        return (size + 1) ** 2
    return size * (size + 2) + 1

def count_side(size):
    if size % 2:
        return (size + 1) // 2
    return size // 2 + 1

def count_half(size):
    if size < 0:
        return 0
    return count_all(size) // 2 + count_side(size)

def count_quarter(size):
    if size < 0:
        return 0
    return count_all(size) // 4 + count_side(size)

def count_inside(x, y, s):
    total = count_all(s)
    
    out_left = count_half(s - x - 1)
    out_top  = count_half(s - y - 1)
    out_top_left = count_quarter(s - x - y - 2)
    
    inside = total - out_left - out_top + out_top_left
    return inside

几个例子：

>>> print(count_inside(2, 1, 3))
12
>>> print(count_inside(2, 1, 4))
16
>>> print(count_inside(2, 1, 5))
21
>>> print(count_inside(3, 2, 8))
47