当两个数组都排序时，搜索排序的更快方法

Question

numpy.searchsorted(a, v, ...)基本上找到排序数组a中大于或等于 v 中元素的第一个元素的索引。我认为这比不采用的方法更快优点是a已排序。

现在如果v也已排序怎么办？ 当然应该可以利用这些知识来使算法更快？ （也许我错了， searchsorted的设计使这无关紧要；如果是这样，请原谅我的问题。）

所以问题是：除了a和v排序之外，与searchsorted(a, v)相同的最快方法是什么？

Answer 1

在我的脑海中，我认为您可以这样解决问题：

def searchsorted_sorted(x, a):
    y = np.empty_like(a)

    l = 0
    for (i, s) in enumerate(a):
        pos = l + np.searchsorted(x[l:], s)
        y[i] = pos
        l = y[i]

    return y

因此，您可以使用 v 被排序的知识来限制后续搜索的搜索空间。

由于 numpy 可能使用二进制搜索，因此当v中的值在a的末尾杂乱无章时，差异应该更加明显。 如果您有大量M 条目并且仅搜索最后 n 的索引，则第二次到第 n 次搜索将要搜索的长度限制为 M 到 M - n。 因此，您只需要O(n*log(n))而不是采用O(n*log(M)) ) ，这在理论上会有所不同。 注意事项：

1. 也许numpy已经做了类似的事情？
2. 由于numpy是用 C 实现的，因此与这个用 python 编写的函数（部分）进行比较是不公平的。
3. 这种实现对缓存不友好，进一步降低了它的实用性。

Answer 2

当a和v具有大致相同的大小时，最好的算法在于合并两个数组（请参阅：合并算法）（请注意，您只需要索引而不需要输出合并数组）。 这可以在线性时间（即O(n+M) ）而不是准线性O(n log M)时间内完成。

否则问题可以在O(n log log M)时间内解决，而不是O(n log n)时间。 这只有在a很大时才有意义，因为log M已经非常小，并且应该注意算法复杂性中的隐藏常数。 该算法的实现并非易事。 这是想法：

• 选择v的中间值v[k]并将v分成两部分（左右两部分）
• 在a中执行v[k]的二分查找以获得它的位置p
• 现在我们可以确定v左侧的项目位于a[:p+1]中，而右侧的项目位于a[p:]中（在相等的情况下可以排除一侧，但把它放在一边为了简单起见）
• 通过调用search(a[:p+1], v[:k])和search(a[p:], v[k+1:])递归地应用操作

请注意，对于第二种算法，如果v包含i多个相同的值，那么您可以复制找到的位置i次并在 a 中找到更严格的下限/上限， a避免退化的情况可能导致更差的复杂性。

由于 CPython 循环开销和 Numpy 函数调用之一，此实现需要用 C/C++ 或 Cython 等本机语言实现，或者可能使用 Numba 等 JIT。