“双 + 1e-6”是什么意思？

Question

这个 cpp 的结果是72.740 ，但答案应该是72.741

mx = 72.74050000;
printf("%.3lf \n", mx);

所以我在网站上找到了解决方案，它告诉我添加"+1e-7"并且它有效

mx = 72.74050000;
printf("%.3lf \n", mx + 1e-7);

但我不知道这种方法的原因，谁能解释它是如何工作的？

而且我也尝试打印它，但没有发生什么特别的事情……结果是72.7405

mx = 72.74050003;
cout << mx + 1e-10;

Answer 1

如果您将 output 值如

printf( "mx = %.16f\n", mx );

你会看见

mx = 72.7404999999999973

因此，由于通过调用 printf 进行四舍五入，因此要使结果类似于 72.741，您需要使下一个数字等于 5 而不是 4。添加0.00001就足够了。

这是一个演示程序。

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <cstdio>

int main( void ) 
{
    double mx = 72.74050000;

    printf( "mx = %.3f\n", mx + 0.00001);

    std::cout << "mx = " << std::setprecision( 5 ) <<  mx + 0.00001 << '\n';
}

程序 output 是

mx = 72.741
mx = 72.741

0.00001与1e-5相同。

Answer 2

首先，您的问题包含不正确的假设。 您将 72.7405（假设它是精确的）输入并期望 output 上的 72.741。 因此，您假设 printf 中的舍入将使 select 成为可能的二的更高候选者。 为什么？

好吧，根据一些规则（例如，在账单、税收等方面进行四舍五入的财政规范），人们可以认为这是您的任务——这很常见。 但是，当您使用 C/C++ 的标准浮点时，您应该考虑以下细节：

1. 它是二进制的，而不是十进制的。 结果，所有值都保留有一些错误。
2. 标准库倾向于使用标准舍入。

第二点意味着 C 浮动中的默认舍入是四舍五入到最近的关系到偶数（或者，很快，半到偶数）。 通过这种四舍五入，72.7405 将四舍五入为 72.740，而不是 72.741（但是，72.7415 将四舍五入为 72.742）。 要要求舍入 72.7405 -> 72.741，您应该安装另一种舍入模式：round-to-nearest-ties-away-from-zero（很快：round-half-away）。 这种模式是请求，参考，在 IEEE754 中进行十进制运算。 因此，如果您使用真正的十进制算术，就足够了。

（如果我们不允许负数，相同的模式可能会被视为减半。但我假设在财务会计和类似情况下不允许负数。）

但是，这里的第一点更重要：这些值表示的不精确性可以乘以操作。 我重复你的情况和更多案例的建议解决方案：

代码：

#include <stdio.h>
int main()
{
  float mx;
  mx = 72.74050000;
  printf("%.6lf\n", mx);
  printf("%.3lf\n", mx + 1e-7);
  mx *= 3;
  printf("%.6lf\n", mx);
  printf("%.3lf\n", mx + 1e-7);
}

结果（Ubuntu 20.04/x86-64）：

72.740501
72.741
218.221497
218.221

因此，您会看到，仅将示例数字乘以 3 会导致补偿总和 1e-7 不足以强制四舍五入，并且 218.2215（“精确”72.7405*3）被四舍五入为 218.221 而不是期望值218.222。 哎呀，“罗伯特·B·韦德导演”……

情况如何才能解决？ 好吧，您可以从更粗略的方法开始。 如果您需要四舍五入到 3 位十进制数字，但输入看起来有 4 位数字，请添加 0.00005（结果中最低有效位的一半），而不是这个无能为力且缓慢的 1e-7。 这肯定会提高半票值。

但是，所有这些只有在舍入前的结果误差严格小于 0.00005 时才会起作用。 如果您有繁琐的计算（例如对数百个值求和），很容易得到超过此阈值的结果错误。 为避免此类错误，您会经常四舍五入中间结果（理想情况下，每个值）。

而且，最后一个结论将我们引向最后一个问题：如果我们需要对每个中间结果进行四舍五入，为什么不直接迁移到整数计算呢？ 您必须将中间结果保留到 4 位十进制数字？ 缩放 10000 并以整数进行所有计算。 这也将有助于避免更高指数的静默（*）精度损失。

(*) 好吧，IEEE754 需要提高“不精确”标志，但是，对于二进制浮点，几乎任何带有小数的运算都会提高它，因此，有用的信号将淹没在噪音的海洋中。

最后的结论不是对您的问题而是对上层任务的正确答案：使用定点方法。 正如我在上面展示的那样，使用 +1e-7 的方法太容易失败。 不，不要使用它，不，永远不要。 有很多适合定点算术的库，只需选择一个并使用即可。

（这也很有趣，为什么 %.6f 导致打印 72.740501 但 218.221497/3 == 72.740499。这表明“单”浮动（C 中的float ）在这里太不准确了。即使没有这种错误的方法，使用double也会推迟问题，屏蔽它并伪装成正确的方式。）