递归出现两次的递归 function 的时间复杂度

Question

我想使用重复替换方法找到这个 function 的时间复杂度。 我知道它是这样的

T(n) = 2T(n/2) + Θ(1) =2^2T(n/2^2) + 2Θ(1) + Θ(1)。 . . =nΘ(1) + (2^k-1)Θ(1)

结果是 O(n)。我只是不明白为什么最终结果是 O(n)。 它从哪里来的？

void foo(int n){ 
    if(n>1){ 
        foo(n/2); 
        foo(n/2);
    }
}

Answer 1

用一排弹珠表示数字：

⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

第一个递归调用将处理其中的一半，而另一个递归调用将处理另一半：

⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫|⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫⚫

这些递归调用中的每一个都将执行相同的操作：

⚫⚫⚫⚫|⚫⚫⚫⚫|⚫⚫⚫⚫|⚫⚫⚫⚫

所以它一直持续到基本情况：

⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫|⚫

有时弹珠的数量会是奇数，然后我们可以想象中间的弹珠会被排除在递归调用之外。

所以基本情况将在大多数时候执行：每个弹珠执行一次。 这是 O()。