使用约束搜索 permutationsubset 的特定排列

Question

我正在搜索one由以下子集S的p1...pn组成的排列P 。 S由标签L定义。 L1...Lk 。 其中L包含pi...pj 。 其中P的逆元素最多有k-1递减的相邻元素。 k <= n 。

例子：

n:= 4

k:= 2

L1:= 1,2

L2:= 3,4

L:= L1,L2,L1,L2

S:= 1324,1423,2314,2413

一种解决方案是P:= 1342

没有解决方案是P:= 3142因为减少相邻元素是2但只允许最大1是因为k =2 。

因此存在一种算法来找到由L定义的S的P吗？

目前我使用 bruteforce 来计算一个排列P ，但它变得非常快无法使用缓慢。

Answer 1

所以每个L1, ..., Lk都是一组连续的元素。 在L的定义中，我们在每个地方看到Li, Lj ，以下三件事之一是正确的：

1. i < j在这种情况下它是上升的。
2. i = j在这种情况下，它可以是升序或降序。
3. i > j在这种情况下它必须是下降的。

通过计算情况 3 为真的地方的数量，我们得到L的定义中已经存在的最小数量的下降元素。

接下来，对于每个Li ，我们都有一个可以用len(Li)-1写下的模式; 和,其中一个; 表示Li的两个成员之间存在其他Lj的元素,并且 表示Li元素相邻，因此元素的顺序可能导致下降。 我们想知道，“对于Li中每个可能的下降数，有多少个Li的排列有这个下降数？”

我们将考虑按如下方式构建排列：

The first element goes at position 0.
The second element goes to position 0 or 1. (If at 0, the first element is moved.)
The third element goes to position 0, 1, or 2.
etc

下降是当下一个元素小于前一个元素时，在与 a 匹配的转换, 。

我们实际上需要以下数据结构供以后使用：

cache[Li] gives:
    by how many elements are chosen:
        by the last element chosen:
            by the number of descents we will add:
                how many ways of finishing this permutation

所以我们可以编写一个递归的 function ，它需要：

前 2 个参数，它返回一个带有最后 2 个参数的字典。并且记忆为我们提供了我们想要的数据结构。

然后我们可以使用动态规划来计算存在多少排列。 为此，我们从L的定义中的下降数开始。 然后，我们使用L1的映射来找出在我们指定L1之后有多少种方法可以得到每个下降次数。 从那个答案和L2的映射中，我们可以在L1, L2都指定之后找到相同的结果。 重复。 这通过动态编程为我们提供了我们可以找到的排列数量。 （如果有的话。）