IEEE 754 中 Epsilon 的解释

Question

Epsilon 是数字编码方案中的最小值，可以将其与1相加以生成具有明显不同表示形式的数字。

任何人都可以帮助我理解为什么在后一个例子中精度损失更大吗？

 console.log(Number.EPSILON > (0.1 + 0.2 - 0.3)) // true

 console.log(Number.EPSILON > (10000.1 + 10000.2 - 20000.3)) // false

准确表示许多容易编写的十进制数所需的有效数是否大于可用的 52 位，因此截断会导致不准确。 然后这个不准确度乘以指数，如果指数大，不准确度就被放大了？

Answer 1

来自MDN ：

EPSILON 属性的值大约2.2204460492503130808472633361816E-16或2-52 。 这是可以与 1 相加得到不同数字的最小值，因为双精度浮点格式只有 52 位表示尾数，最低位的有效位为 2^-52。

请注意，浮点数的绝对精度随着数字变大而降低，因为指数增加而尾数的精度保持不变。

0.1 + 0.2 - 0.3中累积的误差小于 EPSILON，这对于10.1 + 10.2 - 10.3和100.1 + 100.2 - 200.3实际上是正确的：

 console.log(Number.EPSILON > (100.1 + 100.2 - 200.3)); // true

但是在成千上万的情况下，转换为 IEEE-754 所产生的误差范围已经大于 EPSILON：

 console.log(Number.EPSILON > (1000.1 + 1000.2 - 2000.3)); // false

为了说明问题，1 亿 ( 100000000.1 ) 已经有-0.1的误差，这意味着100000000.1被视为100000000 。 尝试此转换器中的一些其他值，以 IEEE-754 格式显示数字和转换产生的错误。

Answer 2

EPSILON 是两个值之间的最小百分比差异

如果你试试

console.log((10000.1 + 10000.2 - 20000.3) / Number.EPSILON)
// > 16384 
console.log((0.1 + 0.2 - 0.3) / Number.EPSILON)
// > 0.25

您会看到，EPSILON 中的误差小于协调值（20000.3 和 0.3）

Answer 3

在位置数字系统中，每个数字代表一个对应于其 position 乘以基数的值。 所以以 10 为基数的20表示 2 x 10 ¹ + 0 x 10 ⁰ = 20。 以二为基数（二进制）的10表示 1 x 2 ¹ + 0 x 2 ⁰ = 二。

很简单。 但是分数呢？ 为了表示这些值，小数点右边的每一位代表一个与其position除以底数对应的值。 因此，以十为底的0.2表示 0 x 10 ⁰ + 2 x 10 ^-1 = 十分之二。 负指数表示除法。

那么我们如何表示二进制的十进制值0.2呢？

我们反复查找值（或余数）的最大除数，即 2 的幂，直到余数为零或我们用完所有位来存储该数字。

0 .  1   1   1   1    1    1     1     1     1     1
    1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024

二进制：

  Binary Value       |    Remainder in Base Ten
                     |       0.2                         
     0.001           |       0.2 - (1/8) = 0.075       
     0.0011          |       0.075 - (1/16) = 0.0125                    
     0.0011001       |       0.0125 - (1/128) = 0.0046875
     0.00110011      |       0.0046875 - (1/256) = 0.00078125
     0.00110011001   |       0.00078125 - (1/2048) = 0.00048828125
     0.001100110011  |       0.00048828125 - (1/4096) = 0.000244140625
     ...and so on, in a recurring pattern, forever

显然这不适合 53 位。 ^1个

碰巧的是，IEEE 754 的数字编码方案略有不同，但数字仍然重复出现。 因此：53 位有效数字²将填充一个循环数字，直到被截断。 然后将应用指数，这意味着最低有效有效位的值将乘以（我认为）2^指数：即。 它将被放大为大量（正和负）的数字。

换句话说：被截断的有效数字变得更有效，指数越大。

或者，换句话说：在有效数位数固定的数字编码方案中，可以表示数字的精确度随着指数变大而降低。

脚注

¹ JavaScript Number格式具有 53 位有效数字。 52 位在主有效位域中编码，一位通过指数域编码。

² “有效数”是浮点数小数部分的首选术语。 “尾数”是对数的小数部分的旧术语。 尾数是对数的； 将一个值加到一个有效数字上会乘以所表示的数字。 有效数是线性的； 将一个值添加到一个有效数字会增加所表示的值，按指数缩放。