IEEE-754 单精度表示的最大绝对和相对误差？

Question

我正在寻找 IEEE-754 单精度表示的最大总体绝对和相对误差。 符号：1 位，指数：8 位，尾数：23 位。

我知道当归一化时，有效数字中的最大位数为 23（我们显然假设符号位和指数为 8）。 因此，如果出现任何额外的数字，那么错误将从 2^-24 开始传播，即 2^-24、2^-25、2^-26...因此我完成了这个的几何无限求和以找到错误: 所以我得到 2^-23。 但是，我不确定这对于相对错误是否正确。 相对误差为（（真值-给定值）/真值）*100。 我不确定这是否是错误的方法。

此外，我对如何找到绝对错误感到困惑。 任何人都可以帮忙吗？ 提前致谢。

Answer 1

所有有限的 IEEE-754 单精度都是精确的。 值本身没有错误。

计算/转换可能会产生错误，因为只有大约 2 ^{32 个}不同的 IEEE-754 单精度值，并且有无限可能的计算结果。 当真实结果不可编码时，通常会选择附近的单精度值。

如果我们将讨论限制在一对有限单精度值内的计算结果，则误差最多为 1.0 ULP ^*1 。

注意：有限范围 +/-3.4028235... × 10 ³⁸或FLT_MAX

在该范围内，真实结果与编码单精度之间的绝对差值最多FLT_MAX - next_smallest_float(FLOAT_MAX) 。 这接近FLOAT_MAX * pow(2,-24) （大约 2.03 * 10 ³¹ ）。 单精度具有 24 位有效数（23 位显式编码，隐含 1）。

在该范围之外，绝对误差可能是无限大的。

对于许多计算，当结果在正常的单精度范围内时，相对误差在正确答案^*1的1.0 * ULP以内。 对于sine等超越计算，误差在正确答案的2.0 * ULP范围内。 对于弱实施来说，这可能会更糟。

当真实结果较小且单精度值为非零次正常值时，相对误差会随着真实值接近 0.0 增加，直到0.5 * pow(2,0)或 1/2。 请注意，这是将相对误差视为：

relative_error_IEEE = |true value - IEEE value|/IEEE value

当 IEEE 值为零或相对误差如下确定时，相对误差接近无穷大。

relative_error_true = |true value - IEEE value|/true value

---

^*1当舍入模式为round-to-nearest时+,-,*,/等常见计算应在 0.5 ULP 以内。

Answer 2

最大误差为10141204801825835211973625643008，最大相对误差为0.5：

>>> (2**(0xfe-150)* 0xffffff - 2**(0xfe-150)* 0xfffffe)/2 
10141204801825835211973625643008L
>>> 2**(0xfe-150)* 0xffffff
340282346638528859811704183484516925440L
>>> print ("%100.100f\n" % (10141204801825835211973625643007.0/340282346638528859811704183484516925440.0))
0.0000000298023241640522577793688714653530524856250849552452564239501953125000000000000000000000000000

>>> print("%151.151f\n" % ( ( 2**(0x0-150)* 0x000002 - 2**(0x0-150)* 0x000001 )/2 ))
0.0000000000000000000000000000000000000000000003503246160812042677309323958224790328200654854691289429392670709724477706714651503716595470905303955078125

>>> print("%151.151f\n" % (2**(0x0-150)* 0x00001))
0.0000000000000000000000000000000000000000000007006492321624085354618647916449580656401309709382578858785341419448955413429303007433190941810607910156250

>>> 3503246160812042677309323958224790328200654854691289429392670709724477706714651503716595470905303955078125.0/7006492321624085354618647916449580656401309709382578858785341419448955413429303007433190941810607910156250
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