这是 float fused-multiply-add 的预期行为吗？

Question

我有三个使用（32 位）浮点数精确表示的数字：

x = 16277216, y = 16077216, z = -261692320000000

我希望执行融合乘加x*y+z以返回数学上正确但四舍五入的值。 正确的数学值是-2489344 ，不需要四舍五入，因此这应该是融合乘加的 output。 但是当我执行fma(x,y,z)时，结果是-6280192 。 为什么？

我使用的是 rust。注意z是-x*y的舍入结果。

let x: f32 = 16277216.0;
let y: f32 = 16077216.0;
let z = - x * y;
assert_eq!(z, -261692320000000.0 as f32); // pass
let result = x.mul_add(y, z);
assert_eq!(result, -2489344.0 as f32); // fail

println!("x: {:>32b}, {}", x.to_bits(), x);
println!("y: {:>32b}, {}", y.to_bits(), y);
println!("z: {:>32b}, {}", z.to_bits(), z);
println!("result: {:>32b}, {}", result.to_bits(), result);

output 是

x:  1001011011110000101111011100000, 16277216
y:  1001011011101010101000110100000, 16077216
z: 11010111011011100000000111111110, -261692320000000
result: 11001010101111111010100000000000, -6280192

Answer 1

我有三个使用（32 位）浮点数精确表示的数字：

x = 16277216, y = 16077216, z = -261692320000000

这个前提是错误的。 -261,692,320,000,000 无法用任何 32 位浮点格式准确表示，因为它的有效位需要 37 位来表示。

通常用于float的 IEEE-754 binary32 格式具有 24 位有效数字。 将 −261,692,320,000,000 的有效数缩放到 2 ²⁴以下的幅度产生 −261,692,320,000,000 = −15,598,077.7740478515625•2 ²⁴ 。 正如我们所看到的，尾数不是这个比例的 integer，所以它不能被精确表示，我也不称它为精确。 最接近的可表示值是 −15,598,078•2 ²⁴ = -261,692,323,790,848。

println:("z: {,>32b}, {}". z,to_bits(); z);
……

  z: 11010111011011100000000111111110, -261692320000000

Rust在撒谎； z的值不是-261692320000000 。 它可能使用了一些算法，例如四舍五入到 8 位有效数字并为 rest 使用零。z 的实际值为z 。

16,277,216•16,077,216 − 261,692,323,790,848 使用普通实数运算的值为-6,280,192，因此 FMA 的结果是正确的。

舍入错误发生在let z = - x * y; ，其中 16,277,216 和 16,077,216 将实数算术结果 261,692,317,510,656 舍入为二进制 32、261,692,323,790,848 中可表示的最接近值。