非线性方程的逆 - MatLab

Question

我一直试图弄清楚如何反转下面显示的两个方程式，但没有成功。 如您所见，这些方程是相当复杂的非线性方程，将 R 和 T（声学中的反射和传输系数）表示为变量 n、k、d 和 xi 的 function。 我需要的是反转这些方程并根据其他变量获得 xi 和 n 的表达式。 i 是虚数单位。

起始方程式

我知道我需要得到的答案（第二张图片），我正在尝试使用一些 MatLab 代码复制这个答案。 m 是 cos 逆 (arccos) function 的分支数。

解决方案的目标

Answer 1

1.-由于surf与plot和其他命令一样，要求X和Y的长度相同，以图形方式反转 function，在 AutoCAD 中称为旋转 UCS 而不是从符号反转尝试开始，这是有道理的。

UCS : Universal C坐标系。 CAD 图纸上的三脚架指示轴和原点。

% MATLAB
close all;clear all;clc

c0=299792458; % [m/s] light velocity

% guessing frequency band centre

f0=2e9;                 % [Hz]
lambda0=c0/f0;      % wavelength
k0=2*pi/lambda0   % wave number

d=.03  % 3 [cm]? chip size? connector? antenna? waveguide length? the kettle?

% range_n=[0:lambda0/10:lambda0/4];
range_n=[0:.01:4.25];
range_e=[0:.05:10];
[N,E]=meshgrid(range_n,range_e);

%% Reflection Coefficient

R=1j*tan(N*k0*d).*(1./E-E)./(2-1j*tan(N*k0*d).*(1./E+E));

figure(1);
ax1=gca;
hs1=surf(ax1,N,E,abs(R))
hs1.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('n');ylabel('e');zlabel('abs(R)');title('|R(n,e)|')

xcr1_1=ax1.XTickLabel;  % x axis x measure ruler
xcr1_2=ax1.YTickLabel;  % x axis y measure ruler

figure(2);
ax2=gca;
hs2=surf(ax2,N,E,angle(R))
hs2.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('n');ylabel('e');zlabel('angle(R)');title('phase(R(n,e)) [rad]')

%% Transmission Coefficient

T=2./(cos(N*k0*d).*(2-1j*tan(N*k0*d).*(1./E+E)));

figure(3);
ax3=gca;
hs3=surf(ax3,N,E,abs(T))
hs3.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('n');ylabel('e');zlabel('abs(T)');title('|T(n,e)|')

这是有道理的，哪里有高反射，哪里就有低透射，哪里有低反射，然后T接近或等于 1。

它是一种无源设备/材料。

figure(4);
ax4=gca;
hs4=surf(ax4,N,E,angle(T))
hs4.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('n');ylabel('e');zlabel('angle(T)');title('phase(T(n,e))')

2.- 现在E从另一边，寻求反转：

E2up=abs((((1+R).^2-T.^2)./((1-R)-T.^2)).^.5);
E2down=-abs((((1+R).^2-T.^2)./((1-R)-T.^2)).^.5);

[sz_s11,sz_s12]=size(E2up);
range_s11=[1:1:sz_s11];
range_s12=[1:1:sz_s12];

[sz_s1,sz_s2]=size(E2up);
range_s11=[1:1:sz_s11];
range_s12=[1:1:sz_s12];

[S11,S12]=meshgrid(range_s11,range_s12);

% |E(S,T)|>0

figure(5);
ax5=gca;
hs5=surf(ax5,S11,S12,abs(E2up'));
hs5.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('s1_R');ylabel('s1_T');zlabel('abs(E_u_p)');title('|E_u_p(s1_R,s1_T)|')

此特定上下文中的s1_R s1_T变量不是散射参数。

s1_r s1_T是数字，与R和T相关的索引。 n和m已经在使用中。

3.- 将倒置表面X Y数字更改为R T

ax5.XTickLabel=xcr1_1;  % x axis x change ruler
ax5.YTickLabel=xcr1_2;  % x axis y change ruler
xlabel(ax5,'R');ylabel(ax5,'T');zlabel(ax5,'|(E_u_p)| positive values only');

% |E(S,T)|<0

ax6=gca;
hs6=surf(ax6,S11,S12,abs(E2down'));
hs6.EdgeColor='none';
grid on;xlabel('s1_R');ylabel('s1_T');zlabel('abs(E2_d_o_w_n)');title('|E_d_o_w_n(s1_R,s2_T)|')

ax6.XTickLabel=xcr1_1;  % x axis x change ruler
ax6.YTickLabel=xcr1_2;  % x axis y change ruler
xlabel(ax6,'R');ylabel(ax6,'T');zlabel(ax6,'|(E_d_o_w_n)| negative values only');

4.-评论：

4.1.-重复angle(Edown(R,T))和n_up(R,T) n_down(R,T) 。

4.2.-包括2*pi*m/(k0*d)应该也不难。

4.3.-假设波导充满空气。

电介质将lambda0修改为lambda k0为k ，并可能添加更多截止点。

4.4.-材料是否均匀且各向同性？