如何解决这个线性规划问题？

Question

考虑一组城市区域。 每个城区都有一个医疗急救服务站的建设候选。 建设救护站的费用由参数给定，全市建设救护站的总预算为5000万。 此外，如果车站建在城市 2 区，则不得在城市 6 区建站。确定在哪些城市区建造救护站，以使最大行驶时间最小化。 最佳的最长旅行时间是多少？ 在市区 ∈ 建造车站的成本是： [32,20,25,30,40,29] 市区和它们之间的行驶距离如下图解释：

 ([[ 0,  4, 12, 27, 25, 58],
   [ 4,  0, 24, 16, 29, 38],
   [12, 24,  0, 31, 14, 30],
   [27, 16, 31,  0, 21,  8],
   [25, 29, 14, 21,  0, 11],
   [58, 38, 30,  8, 11,  0]])

正确答案是在 2 区和 4 区建站，最佳旅行时间为 24。

我试图解决它，这是我的代码，但答案不正确。 它必须与 PULP 一起完成

`from pulp import *
import numpy as np

# the cost of building of the stations
cost1 = [32,20,25,30,40,29]

# the city districts and the driving distances between them
d = np.array([[0,4,12,27,25,58],[4,0,24,16,29,38],[12,24,0,31,14,30],[27,16,31,0,21,8],          [25,29,14,21,0,11],[58,38,30,8,11,0]])

# set of city districts
cities1 = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
cities2 = [1, 2, 3, 4, 5, 6]

# costs
n = dict(zip(cities1,cost1))

# dict of every distance between the cities
a1 = dict(zip(cities1, zip(*d)))

a = {key: dict(enumerate(value, 1)) for key, value in a1.items()}


# model
model = LpProblem("Set_covering", LpMinimize)

# shortcut introduction
shortcut = [(i,j) for i in cities1 for j in cities2]

# declaration of variables
x = LpVariable.dicts("x",(cities1),0, cat = 'Binary')
maximum = LpVariable("Maximum", 0, cat = 'Continuous')

# purpose function
model += maximum

# restrictive conditions
for (i,j) in shortcut:
    model += maximum >= x[i]*a[i][j]
for j in cities1:
    model += lpSum(x[i]*a[i][j] for i in cities2) >= 1

model += lpSum(n[i]*x[i] for i in cities1) <=50
model += lpSum(x[2]+x[6]) <= 1


# List of results
model.solve()
print("Status:", LpStatus[model.status])

for v in model.variables():
    if v.varValue > 0:
        print(v.name, "=", v.varValue)
    
print("The total travel time to all places from both stations is: ", value(model.objective))`

Answer 1

您创建的 model 与所描述的问题略有不同。 您正在从可以服务于另一个位置的位置中获得最大的旅行时间。 当您 select（正确地）在位置 2 和 4 进行构建时，您的“最大化”约束会选择 38，因为这是可以为位置 6 提供服务的所有站点中的最大值。但是您说，“我不会提供服务从第 2 站到第 6 站，我会从第 4 站开始，然后走第 8 个距离……”其他人也一样。

但该信息不在您的 model 中。我建议适度重新表述......您几乎已经完成，并且涵盖了许多概念。 您要捕获的信息是“我想从站点i到位置j提供服务”。 所以引入那个变量并适当地约束它。 就像是：

service[i, j] ∈ {0, 1}

以及对此的一些必要约束，然后在该变量上使用最大约束。

显然，您需要将service变量链接到在i处建造的站点（两者之间的约束，对于每个i ）。 您可以为每个与x[i]相关联的i, j设置单独的约束，或者如果您已经了解了该概念，则可以使用 big-M 求和。

并且您将需要确保为每个j提供服务（听起来像是每个j的求和约束），这将取代您的其他约束，迫使距离大于 1。

如果您遇到困难，请回复。 祝你好运！