如何计算切点的坐标？

Question

我需要为一个项目制作一个 svg 文件，我需要一些我还没有弄清楚如何计算的参数。 我有一个坐标点x1,y1和一个以坐标x2,y2为中心、半径为r的圆周。 点 x1,y1 在圆周外。 如何计算属于圆周（ x3,y3和x4,y4 ）的点的坐标，两条切线将从中通过？ 外点 (x1,y1) 永远不会接触到圆周，也永远不会属于圆周。 这张图是为了更好地理解这个概念，用红色表示要计算的值。 切线方案

Answer 1

移动坐标系以使原点位于圆心（以获得更简单的方程式）。 现在重点是

 x1' = x1 - x2
 y1' = y1 - y2

求解下一个方程组（点属于圆周，半径垂直于切线）

x^2 + y^2 = r^2
(x - x1') * x + (y - y1') * y = 0

对于未知的 x, y。

要获得最终结果，请将x2, y2添加到解决方案结果（应该是两个解决方案）

import math
def tangpts(px, py, cx, cy, r):
    px -= cx
    py -= cy
    r2 = r*r
    r4 = r2*r2
    a = px*px+py*py
    b = -2*r2*px
    c = r4 - r2*py*py
    d = b*b-4*a*c
    if d < 0:
        return None
    d = math.sqrt(d)
    xx1 = (-b - d) / (2*a)
    xx2 = (-b + d) / (2*a)
    if (abs(py) > 1.0e-8):
        yy1 = (r2 - px * xx1) / py
        yy2 = (r2 - px * xx2) / py
    else:
        yy1 = math.sqrt(r2 - xx1*xx1)
        yy2 = -yy1

    return((xx1+cx,yy1+cy),(xx2+cx,yy2+cy))

print(tangpts(0.5, 0.5, 0, 0, 1))
print(tangpts(1, 1, 0, 0, 1))
print(tangpts(0, 0, -3, -3, 3))
print(tangpts(2, 0, 0, 0, 1))
print(tangpts(0, 1, 0, 0, 1))

>>>
None             #point inside 
((0.0, 1.0), (1.0, 0.0))    #common case
((-3.0, 0.0), (0.0, -3.0))   #common case
((0.5, 0.8660254037844386), (0.5, -0.8660254037844386))   #py is zero case
((0.0, 1.0), (0.0, 1.0))  # single tangent case - point at circumference

Answer 2

为了发布解决方案的 python 代码，我复制了最初在评论中的解释：

1. 圆心为P ₂ (x2,y2)，半径为r。未知点P ₃ (x3,y3)满足圆的方程：

   (x3-x2)^2 + (y3-y2)^2 = r^2 (1) 。

2. 切线 P ₁ P ₃垂直于圆 P ₂ P ₃的半径。 因此，将勾股定理应用于三角形 P ₁ P ₂ P ₃ ：

   a) P ₁和 P ₂之间的距离是 (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2,

   b) P ₁和 P ₃之间的距离是 (x1-x3)^2 + (y1-y3)^2

   c) 距离P ₂ P ₃为r，半径

   (x1-x3)^2 + (y1-y3)^2 + r^2 = (x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 (2)

因此，我们必须针对 x3 和 y3 求解方程式 (1) 和 (2)。

我们现在分离未知数（x3 和 y3 之间的线性关系可以通过 (1)-(2) => (x3-x2)(x1-x2) + (y3-y2)(y1-y2) = r^ 2 ), 得到两个二次方程.

python 实现：

import math
def tangentPoints(x1, y1, x2, y2, r):
  a = (y1-y2)**2+(x1-x2)**2
  bx = -r**2 * (x1-x2)
  cx = r**2 * (r**2-(y1-y2)**2)
  sqDeltax = math.sqrt(bx**2 - a*cx)
  x3 = x2 + (-bx + sqDeltax)/a
  x4 = x2 + (-bx - sqDeltax)/a
  
  by = -r**2 * (y1-y2)
  cy = r**2 * (r**2 - (x1-x2)**2)
  sqDeltay = math.sqrt(by**2 - a*cy)
  y3 = y2 + (-by - sqDeltay)/a
  y4 = y2 + (-by + sqDeltay)/a

  return (x3, y3), (x4, y4)