像 Z3 这样的 SMT 求解器可以证明 1+2+...+n = n(n+1)/2 吗？

Question

定理 1+2+...+n = n(n+1)/2 似乎可以通过首先将其转换为 CNF 并对其反复应用解析规则来证明，如 [1] 的介绍部分所述。 我相信这意味着该定理可以通过像 Z3 这样的 SMT 求解器求解。

然而，我认为一阶逻辑无法处理这类问题，因为“然而，没有一阶理论有能力唯一地描述具有无限域的结构，例如自然数或实线”。 [2]

所以，我的问题是：

1. 我们可以用 Z3 来证明这个定理吗？
2. 如果是这样，如何在 Z3 中编写方程式 1+2+...+n = n(n+1)/2？

• [1] 通过与证明助手互动学习证明定理
• [2] https://en.wikipedia.org/wiki/First-order_logic#:~:text=First%2Dorder%20logic%20is%20the,%2C%20into%20first%2Dorder%20logic 。

我尝试使用 Z3 来解决它，但我无法弄清楚如何首先在 Z3 中指定公式“1+2+..+n”。

Answer 1

您可以表达这样的定理，但现有的 SMT 求解器还不够强大，无法开箱即用地证明它们，至少目前还不行。 这是因为 SMT 求解器不进行归纳，而此类声明需要归纳来证明。

为了说明，这就是您在 z3 的 Python API 中编写所需定理的方式：

from z3 import *

dummy = Int('dummy')
Sum = RecFunction("Sum", IntSort(), IntSort())
RecAddDefinition(Sum, [dummy], If(dummy == 0, 0, dummy + Sum(dummy-1)))

def P(n):
  return Sum(n) == n * (n+1) / 2

n = Int('n')
prove(P(n))

唉，如果你运行它，你会看到 z3 永远循环。

在某些情况下，您可以通过自己提出归纳论证来逃避：

from z3 import *

dummy = Int('dummy')
Sum = RecFunction("Sum", IntSort(), IntSort())
RecAddDefinition(Sum, [dummy], If(dummy == 0, 0, dummy + Sum(dummy-1)))

def P(n):
  return Sum(n) == n * (n+1) / 2

s = Solver()

# Induction. Base case:
s.add(P(0))

# Inductive-step. Assert for `n`. Assert the negation for `n+1`, hoping for unsat answer.
n = Int('n')
s.add(P(n))
s.add(Not(P(n+1)))

print(s.check())

las，这也永远循环。 该工具无法处理所需的步骤。

您还可以尝试将Sum添加为未解释的 function，添加关于它的公理，看看是否可以使用一些模式来推动证明。 唉，这些尝试都不是很令人满意。 即使你得到了证明，它也会很脆弱。

底线是，SMT 求解器不进行归纳，至少目前不进行。 但是 SMTLib 规范允许递归 function 定义，这自然需要归纳推理能力。 也许未来事情会变得更好，可能有用户注释，帮助求解器找到归纳不变量。 但是，按照 2023 年初的情况，如果要证明此类定理，则需要使用实际的定理证明器，例如 Isabelle、Coq、Lean、ACL2 等； 或 Dafny、why3 等系统，它们比 SMT 求解器本身更好地自动化归纳证明。