是否可以提高 C 中谐波级数的浮点和的精度超过 10^-8？

Question

给定谐波级数 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4... = ln(2)，是否可以仅使用浮点值并仅使用基本运算 (+,-,* ,/). 是否有任何算法可以提高此计算的精度而不会使 n 值过高（当前合理限制为 1e^10）

我目前拥有的： this.nets me 8 correct digits -> 0.6931471825

编辑目标是仅使用浮点数据类型计算最精确的求和值

int main()
{
    float sum = 0;
    int n = 1e9;
    double ans = log(2);
    int i;
    float r = 0;

    for (i = n; i > 0; i--) {
        r = i - (2*(i/2));
        if(r == 0){
            sum -= 1.0000000 / i;
        }else{
            sum += 1.0000000 / i; 
        }
    }

    printf("\n%.10f", sum);
    printf("\n%.10f", ans);
    return 0;
}

Answer 1

在float是single-precision IEEE floating point number的系统上，它具有 24 位精度，大约是 7 或 (log ₁₀ (2 ²⁴ )) 位十进制精度。

如果你改变

double ans = log(2);

到

float ans = log(2);

你会发现你已经得到了可能的最佳答案。

0.6931471 82464599609375       From log(2), casted to float
0.6931471 82464599609375       From your algorithm
0.6931471 8055994530941723...  Actual value
  \_____/
  7 digits

事实上，如果你使用%A而不是%f ，你会发现你得到了相同的答案。

0X1.62E43P-1  // From log(2), casted to float
0X1.62E43P-1  // From your algorithm

Answer 2

@ikegami 已经用十进制和十六进制显示了这个答案，但为了更清楚，这里是二进制数字。

ln(2) 实际上是：

0.1011000101110010000101111111011111010001110011111…

四舍五入为 24 位，即：

0.101100010111001000011000

转换回十进制，即：

0.693147182464599609375

...这是你得到的数字。 没有比这更好的了，在 24 位精度中，您可以在单精度float中使用。