用 Python 递归程序计算伯努利数

Question

我正在尝试使用 Python 解决有关伯努利数的问题。目标是 output 第 $n$ 个伯努利数的分子和分母。 我使用此来源中给出的约定和通用公式。

这是我的代码。 我使用辅助 function aux_bernoulli来使用递归计算伯努利数。

from fractions import Fraction
from math import factorial

def aux_bernoulli(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1: # convention
        return -0.5
    elif (n-1)%2==0: # B(n)=0 when n is odd
        return 0
    else:
        somme = 0
        for k in range(n):
            somme += (factorial(n)/(factorial(n+1-k)*factorial(k))) * aux_bernoulli(k)
        return -somme

def bernoulli(n):
    ber = aux_bernoulli(n)
    print(ber) # for debugging purposes
    numerator, denominator = Fraction(ber).numerator, Fraction(ber).denominator
    return numerator, denominator

这段代码给了我错误的值，这些值非常接近正确的值，我不明白为什么。 这里有些例子：

bernoulli(4)
bernoulli(6)
bernoulli(8)

Output：

-0.03333333333333338
(-600479950316067, 18014398509481984)

0.023809523809524058
(214457125112883, 9007199254740992)

-0.033333333333335075
(-1200959900632195, 36028797018963968)

根据此来源更正值：

-0.033333
(-1, 30)

0.0280952
(1/42)

-0.033333
(-1, 30)

有谁知道我的方法有什么问题？

Answer 1

结合@Stef 的各种建议（多个+1），我提出了以下简化：

from math import comb
from fractions import Fraction
from functools import lru_cache

@lru_cache
def bernoulli(n):
    if n == 0:
        return Fraction(1)

    if n == 1: # convention
        return Fraction(-1/2)

    somme = Fraction(0)

    if n % 2:  # B(n) = 0 when n is odd
        return somme

    for k in range(n):
        somme += bernoulli(k) * comb(n, k) / (n + 1 - k)

    return -somme

print(bernoulli(60).as_integer_ratio())

在Fraction和float之间移动很容易弄乱结果。