主值积分与 Python

Question

我正在尝试将 function 与 python 集成。它有一个奇点，使用 scipy.integrate 我无法获得令人满意的结果（我也得到了 IntegrationWarning）。

到目前为止，这是我的代码。 这是我第一次处理这样的功能，我有点迷茫。

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def integrand(x):
    return -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x))

def cauchy_principal_value(f, a, b, singular_point):
    integral = quad(f, a, b, points=[a, singular_point, b],limit=1000)
    return integral

result = cauchy_principal_value(integrand, 0, np.pi, 2.0287665755744362)

print("Principal Value: ", result[0])

谁能帮我？

Answer 1

一般来说，积分程序在处理奇点时需要一些帮助。

在这里，如果您知道您想要一个主值，请使用weight="cauchy"告诉它quad （查找quad的文档）。 这是一个快速而肮脏的演示：

In [32]: x0 = brentq(lambda x: x * np.cos(x) + np.sin(x), 1e-2, np.pi)

In [33]: quad(lambda x: -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x) * (x - x0)), 1e-4, np.pi, weight='cauchy', wvar=x0)
Out[33]: (-4.14269240855162, 1.4398780224416236e-08)

• 积分器需要一个 position 的奇点，所以用寻根器找到它（下面的brentq ）
• weight="cauchy"被积函数解释为f(x) in f(x) / (x - c) 。 因此，计算展开并重新定义围绕x0被积函数。 下面我乘以x - x0代替。
• 在 x->0 处有一个 0/0，因此理想情况下将被integrand function 重新定义为零。 在下面，我只是离开了x=0 。

Answer 2

scipy.integrate.quad function 是通用积分器，在处理奇点或高振荡函数时可能会遇到困难。 在您的情况下，您正在尝试将 function 与奇点集成，这可能导致 IntegrationWarning 或不准确的结果。

要处理被积函数中的奇点，您可以使用 Cauchy 主值法。 这是您的代码的更新版本：

from scipy.integrate import quad
import numpy as np

def integrand(x):
    return -(x * np.sin(2*x)) / (x * np.cos(x) + np.sin(x))

def cauchy_principal_value(f, a, b, singular_point, **kwargs):
    def wrapped(x):
        if x == singular_point:
            return np.nan
        return f(x)
    
    integral = quad(wrapped, a, b, **kwargs)
    return integral

result = cauchy_principal_value(integrand, 0, np.pi, 2.0287665755744362)

print("Principal Value:", result[0])

在更新的代码中，引入了一个包装器 function wrapped 来处理奇点。 包装器 function 为奇异点返回 np.nan 以指示被积函数未在该点定义。 如果需要，**kwargs 参数允许您将额外的 arguments 传递给 quad function。

通过使用这种方法，集成应该在不引发 IntegrationWarning 的情况下继续进行。 让我知道它是否有效。