联合方程的最小二乘解

Question

我试图适应从一组坐标到另一组坐标的转换。

x' = R + Px + Qy
y' = S - Qx + Py
Where P,Q,R,S are constants, P = scale*cos(rotation). Q=scale*sin(rotation)

存在用于将P，Q，R，S拟合到一组对应点的“手动”公式。 但我需要对拟合进行误差估计 - 所以我需要一个最小二乘解。

阅读'数字食谱'，但我无法解决如何对其中包含x和y的数据集进行此操作。

任何人都可以指向如何执行此操作的示例/教程/代码示例？
对语言不太感兴趣。
但是 - 只是使用Matlab / Lapack / numpy / R的内置功能可能没有帮助！

编辑：我有一大套旧（x，y）新（x，y）适合。 问题是超定的（比未知数更多的数据点）如此简单的矩阵求逆是不够的 - 正如我所说，我真的需要拟合上的误差。

Answer 1

要查找P，Q，R和S，您可以使用最小二乘法。 我认为令人困惑的是，通常的最小二乘描述使用x和y，但它们与你问题中的x和y不匹配。 您只需要将问题小心地转换为最小二乘框架。 在你的情况下，自变量是未转换的坐标x和y，因变量是变换后的坐标x'和y'，可调参数是P，Q，R和S.（如果这个不够清楚，让我知道，我会发布更多细节。）

一旦找到P，Q，R和S，然后scale = sqrt（P ^ 2 + Q ^ 2），然后您就可以从sin rotation = Q / scale和cos rotation = P / scale找到旋转。

Answer 2

以下代码应该可以解决问题。 我使用以下公式来表示残差：

residual[i] =   (computed_x[i] - actual_x[i])^2
              + (computed_y[i] - actual_y[i])^2

然后根据Wolfram的MathWorld中描述的一般程序推导出最小二乘公式。

我在Excel中测试了这个算法并且它按预期执行。 我使用了十个随机点的集合，然后通过随机生成的变换矩阵进行旋转，平移和缩放。

由于没有随机噪声施加到输出数据，该程序产生四个参数（ P ， Q ， R和S ），它们与输入参数相同，并且rSquared值为零。

随着越来越多的随机噪声应用于输出点，常数开始偏离正确的值，并且rSquared值相应地增加。

这是代码：

// test data
const int N = 1000;
float oldPoints_x[N] = { ... };
float oldPoints_y[N] = { ... };
float newPoints_x[N] = { ... };
float newPoints_y[N] = { ... };

// compute various sums and sums of products
// across the entire set of test data
float Ex =  Sum(oldPoints_x, N);
float Ey =  Sum(oldPoints_y, N);
float Exn = Sum(newPoints_x, N);
float Eyn = Sum(newPoints_y, N);
float Ex2 = SumProduct(oldPoints_x, oldPoints_x, N);
float Ey2 = SumProduct(oldPoints_y, oldPoints_y, N);
float Exxn = SumProduct(oldPoints_x, newPoints_x, N);
float Exyn = SumProduct(oldPoints_x, newPoints_y, N);
float Eyxn = SumProduct(oldPoints_y, newPoints_x, N);
float Eyyn = SumProduct(oldPoints_y, newPoints_y, N);

// compute the transformation constants
// using least-squares regression
float divisor = Ex*Ex + Ey*Ey - N*(Ex2 + Ey2);
float P = (Exn*Ex + Eyn*Ey - N*(Exxn + Eyyn))/divisor;
float Q = (Exn*Ey + Eyn*Ex + N*(Exyn - Eyxn))/divisor;
float R = (Exn - P*Ex - Q*Ey)/N;
float S = (Eyn - P*Ey + Q*Ex)/N;

// compute the rSquared error value
// low values represent a good fit
float rSquared = 0;
float x;
float y;
for (int i = 0; i < N; i++)
{
    x = R + P*oldPoints_x[i] + Q*oldPoints_y[i];
    y = S - Q*oldPoints_x[i] + P*oldPoints_y[i];
    rSquared += (x - newPoints_x[i])^2;
    rSquared += (y - newPoints_y[i])^2;
}

Answer 3

定义3×3矩阵T（P，Q，R，S），使得(x',y',1) = T (x,y,1) 。 然后计算

A = \sum_i |(T (x_i,y_i,1)) - (x'_i,y'_i,1)|^2

并最小化A（P，Q，R，S）。

自己编码是一个中型到大型项目，除非你能保证数据条件良好，特别是当你想要从程序中获得良好的错误估计时。 你可能最好使用支持误差估计的现有最小化器。

粒子物理类型将直接从CERNLIB使用minuit （编码最容易在fortran77中完成），或者从ROOT （使用c ++编码，或者它应该可以通过python绑定访问）。 但如果您还没有这些工具，那么这是一个很大的安装。

我相信其他人可以建议其他最小化器。

Answer 4

您可以使用levmar程序来计算它。 它经过测试并集成到包括我的多种产品中。 它是根据GPL许可的，但如果这是一个非开源项目，他将为您更改许可证（收费）

Answer 5

谢谢eJames，这几乎是我所拥有的。 我用一本旧的军队测量手册编写了这本书，该手册是基于早先的“测量员指南”说明，必须是100岁！ （它使用北和东的N和E而不是x / y）

拟合优度参数将非常有用 - 如果它们使拟合更糟，我可以交互式地抛出选定的点。

FindTransformation(vector<Point2D> known,vector<Point2D> unknown) {
{
    // sums
    for (unsigned int ii=0;ii<known.size();ii++) {
       sum_e += unknown[ii].x;
       sum_n += unknown[ii].y;
       sum_E += known[ii].x;
       sum_N += known[ii].y;                            
       ++n;         
    }

    // mean position
    me = sum_e/(double)n;
    mn = sum_n/(double)n;
    mE = sum_E/(double)n;
    mN = sum_N/(double)n;

    // differences
    for (unsigned int ii=0;ii<known.size();ii++) {

       de = unknown[ii].x - me;
       dn = unknown[ii].y - mn;

       // for P
       sum_deE += (de*known[ii].x);
       sum_dnN += (dn*known[ii].y);
       sum_dee += (de*unknown[ii].x);
       sum_dnn += (dn*unknown[ii].y);

       // for Q
       sum_dnE += (dn*known[ii].x);
       sum_deN += (de*known[ii].y);                     
   }

double P = (sum_deE + sum_dnN) / (sum_dee + sum_dnn);
double Q = (sum_dnE - sum_deN) / (sum_dee + sum_dnn);

double R = mE - (P*me) - (Q*mn);
double S = mN + (Q*me) - (P*mn);
}

Answer 6

一个问题是像这样的数字通常是棘手的。 即使算法很简单，实际计算中也经常会出现问题。

因此，如果有一个系统可以轻松获得具有内置功能的系统，那么最好使用它。