垂直线的最小二乘方程

Question

给出以下2d点：

213 106.8

214189

214 293.4

213324

223414

我想找到贯穿它们的最小二乘垂直轴线的方程式。 我的计划是得到一个线方程，以便我可以测试后续点到该最小二乘法线的距离。

谢谢

Answer 1

严格来说，没有为垂直线定义最小二乘拟合（因为每个点的误差均与Y轴平行进行测量）。

但是，如果交换X和Y，则可以找到最小二乘拟合最佳的水平线。 它可以简单地得出Y坐标值的平均值：

水平线的方程式为y = b。

每个点（x _i ，y _i ）的误差为（y _i -b）。

误差的平方和为SSE ​​= sum（（y _i -b） ² ）。 我们希望找到使SSE最小的b值。 取b的SSE偏导数并将其设置为零：

sum（-2（y _i -b））= 0

简化

和（y _i ）-Nb = 0

和

b =总和（y _i ）/ N

因此，在您的情况下，对X坐标求平均值可以得到最适合您的点的垂直线的X坐标。

Answer 2

最通用的解决方案是应用总最小二乘法

发现（a，b，d）最小化垂直距离的平方和（ax + by = d（a ^ 2 + b ^ 2 = 1）：| ax + by – d |）。 这可以处理垂直线，例如0x + 1y = 0。

但是，这很难实现，因此@Jim Lewis提供的解决方案可能很好并且更实用。

Answer 3

如果要使最合适的线垂直（即x =常数），则y值无关紧要。 只需取x值平方的均值的平方根即可。