查询 Lambda 演算中的布尔值

Question

这是 AND 运算符的 lambda 演算表示：

lambda(m).lambda(n).lambda (a).lambda (b). m(n a b) b

任何人都可以帮助我理解这种表示吗？

Answer 1

要理解如何在 lambda 演算中表示布尔值，考虑一个 IF 表达式会有所帮助，“if a then b else c”。 这是一个表达式，它选择第一个分支 b，如果它是真的，第二个，c，如果它是假的。 Lambda 表达式可以很容易地做到这一点：

lambda(x).lambda(y).x

会给你它的第一个参数，和

lambda(x).lambda(y).y

给你第二个。 所以如果 a 是这些表达式之一，那么

a b c

给出b或c ，这正是我们想要 IF 做的。 所以定义

 true = lambda(x).lambda(y).x
false = lambda(x).lambda(y).y

并且abc行为就像if a then b else c 。

在(nab)处查看您的表达式，这意味着if n then a else b 。 然后m (nab) b表示

if m then (if n then a else b) else b

如果m和n都为true ，则此表达式的计算结果为a ，否则计算为b 。 由于a是函数的第一个参数， b是第二个参数，并且true已被定义为给出其两个参数中的第一个参数的函数，那么如果m和n都为true ，则整个表达式也是如此。 否则为false 。 而这只是and的定义！

所有这些都是由 Alonzo Church 发明的，他发明了 lambda 演算。

Answer 2

在 lambda 演算中，布尔值由一个带有两个参数的函数表示，一个参数表示成功，一个表示失败。 参数称为continuations ，因为它们会继续计算的其余部分； 布尔值 True 调用成功延续，布尔值 False 调用失败延续。 这种编码称为 Church 编码，其思想是布尔值非常类似于“if-then-else 函数”。

所以我们可以说

true  = \s.\f.s
false = \s.\f.f

其中s代表成功， f代表失败，反斜杠是一个 ASCII lambda。

现在我希望你能看到这是怎么回事。 我们如何编码and ？ 好吧，在 C 中，我们可以将其扩展为

n && m = n ? m : false

只有这些是函数，所以

(n && m) s f = (n ? m : false) s f = n ? (m s f) : (false s f) = n ? (m s f) : f

但是，当在 lambda 演算中编码时，三元结构只是函数应用程序，所以我们有

(n && m) s f = (n m false) s f = n (m s f) (false s f) = n (m s f) f

所以最后我们到达

&& = \n . \m . \s . \f . n (m s f) f

如果我们将成功和失败的延续重命名为a和b我们将返回到您原来的

&& = \n . \m . \a . \b . n (m a b) b

与 lambda 演算中的其他计算一样，尤其是在使用 Church 编码时，使用代数定律和方程推理通常更容易解决问题，然后在最后转换为 lambda。

Answer 3

实际上，它不仅仅是 AND 运算符。 这是if m and n then a else b的 lambda 演算版本。 这是解释：

在 lambda 演算中 true 被表示为一个函数，它接受两个参数*并返回第一个。 False 表示为采用两个参数* 并返回第二个参数的函数。

您上面显示的函数采用四个参数*。 从它的外观来看，m 和 n 应该是布尔值，而 a 和 b 应该是其他一些值。 如果 m 为真，它将计算其第一个参数，即nab 。 如果 n 为真，这反过来将计算为 a，如果 n 为假，则计算为 b。 如果 m 为假，它将计算其第二个参数 b。

所以基本上，如果 m 和 n 都为真，则函数返回 a，否则返回 b。

(*) 其中“采用两个参数”意味着“采用一个参数并返回一个采用另一个参数的函数”。

编辑以回应您的评论：

在 wiki 页面上看到的and true false是这样工作的：

第一步是简单地将每个标识符替换为其定义，即(λm.λn. mnm) (λa.λb. a) (λa.λb. b) 。 现在应用函数(λm.λn. mnm) 。 这意味着mnm中每次出现的 m 都被第一个参数 ( (λa.λb. a) ) 替换，并且每次出现的 n 都被第二个参数 ( (λa.λb. b) ) 替换。 所以我们得到(λa.λb. a) (λa.λb. b) (λa.λb. a) 。 现在我们简单地应用函数(λa.λb. a) 。 由于此函数的主体只是 a，即第一个参数，因此计算结果为(λa.λb. b) ，即false （因为λx.λy. y表示false ）。